Quarta-feira, 2 de Janeiro de 2013

Teia numérica

Este blog tem privilegiado tarefas que, de alguma forma, permitem mais do que uma possibilidade de solução. Tratam-se de tarefas abertas, suscetíveis de potenciarem o debate de ideias e o confronto de estratégias empregues por diversos resolvedores. As tarefas que selecionei para este novo artigo são um bom exemplo do que acabo de referenciar, pois desafiam o leitor na procura de mais do que uma solução. Observemos a figura seguinte:



Se pretendermos chegar ao círculo que tem o valor 10 inserido, partindo do círculo que tem o valor 2, quantas são as possibilidades de isso ocorrer tendo em conta a seguinte regra: só se pode avançar um círculo adjacente de cada vez, sempre na lógica de que o círculo selecionado em cada passo tem que ter um valor superior ao valor do cícrculo anterior.


A título de exemplo, um caminho possível será o seguinte 2 - 4 - 10.


Quantos caminhos mais poderá encontrar? Que somas diferentes se obtêm se se adicionarem os valores existentes nos círculos envolvidos em cada caminho?


Certamente que a resolução coincidirá com a que apresento a seguir, desde que se esgotem todas as possibilidades de associar estes números. Vejamos:


Valores envolvidos Soma obtida
a) 2 - 4 - 10  16
b) 2 - 6 - 10  18
c) 2 - 8 - 10  20
d) 2 - 4 - 6 - 10  22
e) 2 - 6 - 8 - 10  26
f) 2 - 4 - 6 - 8 - 10  30


Existem, pois, seis possíveis caminhos para se chegar ao círculo de valor 10, começando no círculo de valor 2, de acordo com a regra imposta. 


Em contexto de sala de aula de matemática seria interessante que os alunos pudessem concluir, ainda, que no caso dos três caminhos envolvendo apenas três círculos, as somas obtidas são três valores pares consecutivos (16 18 e 20). Por outro lado, no caso dos dois caminhos envolvendo quatro círculos, as somas obtidas continuam a ser valores pares, mas a diferença entre elas passa para quatro pontos (22 e 26). Já a soma maior (30), proveniente do único caminho envolvendo cinco círculos, continua a ser um valor par e também é maior em quatro pontos, relativamente à maior soma anterior.


O esquema seguinte sintetiza as seis possibilidades de unir os círculos de valores extremos:



 

E se complexificarmos um pouco a figura inicial, acrescentando-lhe três novos valores? Vejamos...



Quais serão as possibilidades de chegar ao círculo de valor 16, iniciando pelo círculo de valor 2 e respeitando a regra anterior, isto é, podendo haver apenas movimentação para um círculo adjacente de valor superior? Qual a estimativa de somas diferentes que se vão obter, bem como o total de somas?


Neste caso, por ser mais complexo, sugiro a sua resolução por etapas. Inicialmente, o círculo com o valor 2 poderá dar o salto para o de valor 4, para o de valor 6 ou para o de valor 8. Sendo assim, iniciemos pelo primeiro destes três casos. A figura seguinte visa sistematizar o conjunto das 12 possibilidades de resposta para esse primeiro caso:




Analisando-se a figura anterior, eis as doze possibilidades de resposta, bem como as respetivas somas:


Valores envolvidos Soma obtida
a) 2 - 4 - 10 - 16  32
b) 2 - 4 - 6 - 10 - 16  38
c) 2 - 4 - 10 - 12 - 16  44
d) 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 16   46
e) 2 - 4 - 6 - 8 - 12 - 16  48
f) 2 - 4 - 12 - 14 - 16  48
g) 2 - 4 - 6 - 8 - 14 - 16  50
h) 2 - 4 - 6 - 10 - 12 - 16  50
i) 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 12 - 16 58
j) 2 - 4 - 6 - 8 - 12 - 14 - 16  62
k) 2 - 4 - 6 - 10 - 12 - 14 - 16   64
l) 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 12 - 14 - 16 72

 

Como se pode constatar, a menor soma tem o valor 32 e a maior soma tem o valor 72. Além disso, existem dez somas diferentes.

Como serão as investigações em que se inicia (a) pelos círculos de valor 2 e 6 e, (b) pelos círculos de valor 2 e 8? Quais as respetivas somas mínimas e as respetivas somas de maior valor? Quantas somas diferentes existem para cada um desses dois casos?

publicado por Paulo Afonso às 12:07
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