A Matemática, como ciência, possibilita que muitos dos seus conceitos, de natureza abstrata, possam ser aplicados a situações da vida quotidiana das pessoas. Não me refiro exclusivamente ao cálculo mental, tão necessário para a realização de estimativas na hora de fazermos algumas compras num eventual supermercado, mas sim a múltiplas outras aplicações da Matemática nas nossas rotinas diárias.

Baseado neste pressuposto, e dando-lhe um cunho marcadamente investigativo e lúdico, gostaria de desafiar os leitores deste blog à realização de uma pequena investigação envolvendo apenas quatro vezes o número 3 para se obter o valor 3. Para tal é permitido a utilização do cálculo aritmético simples (adições, subtrações, multiplicações e divisões), parêntesis curvos e retos, a raíz cúbica, o fatorial, a junção de alguns destes números 3 para obter, por exemplo, 33 ou 333 ou potências de base três e expoente três.

A título de exemplo, o 3 pode ser obtido através dos seguintes cálculos:

De facto, usando-se apenas as operações aritméticas (exemplo da esquerda) ou o fatorial (exemplo do meio) ou o radical de índice 3 (exemplo da direita), obtém-se sempre o valor 3.

E se o desafio fosse, agora, o de se obter o valor 11, usando o mesmo critério anterior?

Eis três exemplos, que voltam a utilizar alguns conceitos matemáticos, além da priorização de algumas operações aritméticas em relação a outras. Refiro-me ao conceito de fatorial de um número e às potências de base três com expoente três:

Será que este desafio também obtém resposta favorável para os restantes números pertencentes a um mostrador de relógio, isto é, será possível obter os números, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 12 usando o critério agora utilizado para a obtenção dos números 3 e 12?

Esta tarefa de recreação matemática, em conceito de sala de aula, pode suscitar a divisão da turma em pequenos grupos, de modo que haja divisão dos números que são objeto de investigação.

Eis uma possível solução para a tarefa proposta:

1 = (3 + 3) : ( 3 + 3)

2 = 3 : 3 + 3 : 3

4 = 3 + 3^{3 - 3}

5 = (3 + 3) : 3 + 3

6 = 3 + 3 + 3 - 3

7 = 3 : 3 + 3 + 3

8 = 3 x 3 - (3 : 3)

9 = 3 x 3 + 3 - 3

10 = 3 x 3 + (3 : 3)

12 = 3 + 3 + 3 + 3

Sendo assim, eis como poderia ficar um hipotético relógio de parede de uma sala de aula de Matemática, elaborado apenas com quatro vezes o número 3 para cada valor do mostrador:

Será que é possível conceber um relógio semelhante a este, mas envolvendo sempre quatro vezes o valor 4 para cada valor do respetivo mostrador?

Após investigação aturada, seria interessante que surgisse uma proposta semelhante a esta:

Faça um estudo semelhante para um novo mostrador de relógio, formado apenas por quatro vezes o número 5 para cada valor desse mostrador.