Quarta-feira, 12 de Novembro de 2008

Explorando números ímpares

As seguintes figuras geométricas são formadas por vários triângulos. O número de triângulos existentes em cada fila é sempre ímpar:  

Continuando o padrão geométrico anterior, quantos triângulos formarão a décima figura?

Como actividade de recreação matemática, os resolvedores poderão resolvê-la através do desenvolvimento do  seguinte padrão numérico:

Figuras

Nº de triângulos envolvidos na sua construção

                                                   1

                                                   4 = 1 + 3

                                                   9 = 4 + 5

                                                 16 = 9 + 7

                                                 25 = 16 + 9

                                                 36 = 25 + 11

                                                 49 = 36 + 13

                                                 64 = 49 + 15

                                                 81 = 64 + 17

10ª

                                               100 = 81 + 19

Contudo, em contexto de sala de aula, os alunos terão que ser levados a concluir que o número de triângulos existentes em cada figura triangular coincide com o respectivo número da sequência de números quadrados, cuja lei de formação é n2, sendo n um número natural.

Sendo assim, para se encontrar de imediato o número de triângulos envolvidos numa destas figuras quaisquer, basta elevar ao quadrado o número de ordem dessa figura.

Centrando a nossa atenção nos números quadrados, podemos concluir, pois, que todos eles resultam da adição de números ímpares consecutivos:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 + 5 + 7

25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

...

Por sua vez, cada um desses valores pode ser obtido através das mesmas parcelas, mas agrupadas de forma diferente da anterior:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 3 + ( 1 + 5)

16 = (1 + 5) + ( 3 + 7)

25 = (3 + 7) + ( 1 + 5 + 9)

36 = (1 + 5 + 9) + ( 3 + 7 + 11)

49 = (3 + 7 + 11) + (1 + 5 + 9 + 13)

...

Se a nossa atenção passar a incidir sobre os valores das somas parcelares que originam os números quadrados, verificaremos que os valores envolvidos são os seguintes:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 3 + 6

16 = 6 + 10

25 = 10 + 15

36 = 15 + 21

49 = 21 + 28

...

Ora, como já tive oportunidade de referir em artigos anteriores, os valores 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... fazem parte da fantástica sequência de números triangulares, pois originam as seguintes figuras:

Destas observações conclui-se, pois, que qualquer número quadrado também resulta da adição de números triangulares consecutivos, cuja lei geral é (n2 + n) : 2.

Voltando aos números ímpares, os mesmos podem sem escritos da seguinte forma:

1

3 + 5

7 + 9 + 11

13 + 15 + 17 + 19

21 + 23 + 25 + 27 + 29

...

Nestas circunstâncias, a soma em cada linha também origina um regularidade ou padrão muito interessante:

1

8

27

64

125

...

Trata-se da sequência dos números cúbicos, de lei geral n3, pois:

1 = 13

8 = 23

27 = 33

64 = 43

125 = 53

...

Perante este padrão como poderia resolver a seguinte situação problemática: "Quais os números ímpares consecutivos cuja soma origina o décimo número cúbico?"

Sugestão: associe a ordem de cada número cúbico ao número de parcelas de números ímpares que irá usar, bem como à forma como vários números ímpares consecutivos se relacionam entre si.

 

publicado por Paulo Afonso às 00:05
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