Terça-feira, 18 de Novembro de 2008

Explorando operações aritméticas codificadas

Resolver operações aritméticas cujos valores foram substituídos por símbolos ou por letras é uma tarefa que frequentemente está associada à Matemática Recreativa.

Tendo em conta as palavras de David Wells (1999)*, "Loyd foi o primeiro a inventar «criptaritmos», enigmas em que deve ser completada uma adição onde alguns algarismos estão apagados, mas Dudeney foi o primeiro a substituir os algarismos desaparecidos por letras, formando uma mensagem com sentido - deu-lhe o nome de Aritmética Verbal [...]" (p. 108).

 

* - Wells, D. (1999). Antologia de Puzzles. Lisboa: Replicação.

 

Veja o seguinte exemplo "SEND + MORE = MONEY", aliás muito conhecido nesta área, e a respectiva resolução: 

                      SEND

                  + MORE


                   MONEY

                      9567

                  + 1085


                   10652

Possível explicação: Como a soma tem mais um dígito do que qualquer uma das parcelas, implica que o M seja necessariamente o 1. Já o S poderia ser o 8 ou o 9. Contudo, se se experimentar o valor 8 para o S, conclui-se que isso não é possível, pelo que se escolhe para esta letra o valor 9. Para que o O seja diferente do M, o valor de O não pode ser 1, mas, sim, zero. Descoberto que estiver o valor 5 para o E, os restantes valores serão fáceis de descobrir. 

Cada número seguinte é o resultado da adição dos valores envolvidos em linha ou em coluna. Descubra, agora, o valor de cada símbolo: 

J

#

O

$

10

J

J

J

#

5

O

O

J

J

8

O

O

O

$

13

$

$

$

$

16

$

$

#

#

12

16

17

14

17

 

O início da análise da tabela anterior pode ocorrer em vários sítios. Desde logo, a linha dos quatro óculos permite concluir, de imediato, que o valor de cada par de óculos é 4. Por outro lado, a segunda linha permite concluir que cada sorriso vale 1 e a tesoura vale 2. Ora, conhecendo-se os valores destes três símbolos, é fácil concluir que cada bandeira vale 3. 

Descubra, agora, o valor de cada um desses quatro símbolos se: 

 J  +  $ =  O#  $      J   $    # =  O

Note que a operação multiplicação é determinante nesta actividade, pois permite experimentar todos os casos de um factor a multiplicar por si próprio, não perfazendo uma dezena. Temos os seguintes casos: 2 x 2 = 4 e 3 x 3 = 9. Contudo, só adicionando 9 a 3 é que ultrapassa a dezena, que é o exigido na adição existente na primeira coluna da tabela. Sendo assim, os óculos valem 3, o sorriso vale 9, a bandeira vale 1 e a tesoura vale 2. Ora, a operação subtracção aí existente permite confirmar que 3 - 2 = 1. 

Altere, agora, a posição de cada número em cada uma das quatro operações seguintes para que as mesmas passem a estar correctas:

ADIÇÃO

SUBTRACÇÃO

MULTIPLICAÇÃO

DIVISÃO

                  58            

                +  8


                  50

          56

         -  2


         76

            46

          x  5


            10

    41 : 64 = 6    

Uma possível estratégia de resolução passa por se fazer o estudo exaustivo das posições dos números. Faço-o apenas para o caso da adição, mas as restantes operações podem ser objecto de estudos semelhantes:

88 + 5 = 93

88 + 0 = 88

85 + 8 = 93

85 + 5 = 90

85 + 0 = 85

58 + 8 = 66

58 + 5 = 63

58 + 0 = 58

55 + 8 = 63

55 + 0 = 55

50 + 8 = 58

50 + 5 = 55

A tabela anterior permite concluir que existem três casos possíveis de a adição poder ser resolvida correctamente. Contudo, não parece razoável que uma das parcelas seja o zero, pelo que a resposta correcta é 50 + 8 = 58.

Termino com mais uma situação de Aritmética Verbal envolvendo, desta vez, as palavras AMOR e ROMA, em que a primeira é operada por um factor I (inverso), originando a segunda:

A  M  O  R

      x       I


R  O  M  A

Encontre, pois, o valor numérico de cada letra e explique o raciocínio empregue!

publicado por Paulo Afonso às 00:11
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3 comentários:
De Pedro David a 22 de Janeiro de 2009 às 16:12
Não entendo porque no caso SEND + MORE = MONEY o E tem de ser 5. Qual é o raciocínio?
De Paulo Afonso a 23 de Janeiro de 2009 às 00:20
Olá Pedro, obrigado pela sua amável participação neste Blog. Quanto à dúvida colocada, irei tentar explicar um pouco a razão do E ter de assumir o valor 5:
- Em 1º Lugar penso que não teve dúvidas em aceitar que o M = 1, o S = 9 e o O = 0, não é?
- Sendo assim, na coluna das centenas, como o E + O não é igual a E, mas sim a N, conclui-se que terá que vir um valor de trás (o famoso "e vai um").
- Isto significa que N + R terá de ser maior do que dez, não é?
- Ora fazendo todas as combinações possíveis relativamente aos valores que podem assumir o N e o R, para que a soma seja E (coluna das dezenas) e tendo em conta que este resultado terá que entrar na coluna das centenas (E), então só funciona se o N = 6 e R = 8, pois com um que vem de trás, faz com que o E = 5.
- Logo, confirma-se o valor 6 para o N, pois E + 0 + 1 = 6 (coluna das centenas).
Espero que estas palavras tenham sido um pouco mais esclarecedoras do que as que coloquei no artigo.
Uma vez mais, muito obrigado pela sua colaboração neste espaço, que visa ser de todos aqueles que nutrem uma enorme paixão pela Matemática!
De Pedro David a 23 de Janeiro de 2009 às 09:46
Olá,
obrigado pela resposta. Pensei que se obtia o valor de E sem algum tipo de "tentativa e erro". Gostei muito do site dos puzzles. Tenho feito bastantes.... Depois de entrar no raciocínio torna-se bem agradável.

Soou formado em engenharia e gosto muito do género de problemas como o dos bifes que está agora primeiro e do género daqueles... por exemplo:

- Um torneira enche um dado tanque em 1hora e outra enche em 2horas... quanto tempo levam as duas em simultaneo a encher o mesmo tanque?

Adoro este tipo de exercicios, mas apesar de focar aspectos mais teóricos da matemática também gosto muito do seu blog.

Prometo ser assíduo no seu blog

Cumprimentos,
Pedro David

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