Terça-feira, 25 de Novembro de 2008

Descobrindo médias aritméticas

Como facilmente se pode calcular, a média dos nove primeiros números ímpares (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17) é 9, pois a sua soma (81) a dividir pelos nove elementos origina, de facto, esse valor 9.

Além disto, como se trata de uma progressão aritmética, o cálculo da média passa pela obtenção da semi-soma dos seus valores extremos (1 + 17) / 2.

Sabe-se também que, 1 + 17 = 18 e (1 + 17) / 2 = 9; 3 + 15 = 18 e (3 + 15) / 2 = 9; 5 + 13 = 18 e (5 + 13) / 2 = 9; 7 + 11 = 18 e (7 + 11) / 2 = 9.

Tendo em conta o raciocínio anterior, outra forma gráfica de se obter facilmente este valor médio passa pela  elaboração de um quadro como o seguinte:

1 3 5
7 9 11
13 15 17

Note que o valor central coincide com a média desses nove números. O mesmo é válido para quaisquer nove números ímpares consecutivos, como atesta, por exemplo, esta nova situação:

3 5 7
9 11 13
15 17 19

Tendo em conta algumas relações que se podem encontrar nos quadros anteriores, tente identificar um processo de cálculo imediato do valor médio de outros nove números ímpares consecutivos, em que o menor deles é o número 21 (faça o respectivo quadro apenas para confirmar a sua conjectura.

É do senso comum o conhecimento de que um qualquer número par também é sempre o valor médio dos respectivos números pares que o antecedem e sucedem. Sendo assim, é espectável que o estudo acabado de fazer para os números ímpares também possa ser feito para os números pares:

2 4 6
8 10 12
14 16 18

De facto, 10 é o valor médio daqueles nove números. Curiosamente verifica-se que este valor médio é também o valor médio dos dois valores médios apresentados nos dois quadros acima, envolvendo apenas números ímpares.

Tendo em conta esta relação acabada de identificar, encontre rapidamente os noves números pares consecutivos que têm como média o número 30  (faça o respectivo quadro apenas para confirmar a sua conjectura). 

Complete, também, o quadro seguinte de modo que qualquer valor colocado entre outros dois represente a sua média. No final  averigúe se o valor central é ou não coincidente com o valor médio dos nove números desse quadro:

5   17
        
25    

publicado por Paulo Afonso às 00:40
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1 comentário:
De José Filipe a 27 de Novembro de 2008 às 01:27

Ora aqui está uma boa sugestão susceptível de levar à sala de aula para consolidação do conceito de média.

05 | 11 | 17
15 | 21 | 27
25 | 31 | 37

É claro que, depois de descobertas as regularidades a ter em conta no preenchimento da tabela, já não é necessário o conceito de média para a poder preencher.

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