Terça-feira, 2 de Dezembro de 2008

Regularidades envolvendo medidas de capacidade

Como actividade de Matemática Recreativa é comum contactarmos com a situação de se pretender obter uma determinada quantidade de um qualquer líquido usando-se apenas três recipientes com capacidades diferentes da quantidade de líquido requerida.

Veja-se o seguinte exemplo em que, tendo à nossa disposição apenas rês recipientes com a capacidade de 8 litros, 5 litros e 1 litro, pretende-se obter a quantidade exacta de 4 litros de um determinado líquido. Sabe-se que apenas o recipiente com maior capacidade contém esse líquido e está cheio. Como deveremos proceder?

A resolução desta tarefa pode assumir, à priori, dois caminhos. Desde logo, podemos começar por encher o menor recipiente ou optar, antes, por encher o recipiente médio.

Exploremos o 1º caso. A tabela seguinte permite evidenciar a quantidade de líquido em cada um dos recipientes, tendo em conta cada passagem de líquido entre dois recipientes:

Passos 8 L 5 L 1 L
Início 8 0 0
1º passo 7 0 1
2º passo 7 1 0
3º passo 3 5 0
4º passo 3 4 1

Conclui-se, pois, que ao fim de quatro passos se obtém a quantidade de líquido solicitada.

Vejamos, também, o caso de se iniciar a resolução pelo enchimento do recipiente de capacidade média:

Passos 8 L 5 L 1 L
Início 8 0 0
1º passo 3 5 0
2º passo 3 4 1

Conclui-se que se trata de uma estratégia mais vantajosa do que a anterior, pois permite a obtenção da resposta desejada em metade dos passos dados antes. De facto, ao fim de dois passos obtém-se a quantidade de líquido desejada.

Imaginemos, agora, o que aconteceria se em vez de termos os recipientes anteriores tivéssemos três novos recipientes com as capacidades de 10 litros, 7 litros e 1 litro e desejássemos obter a quantidade exacta de 5 litros do líquido que apenas existe no maior recipiente. Sabe-se que este recipiente está cheio.

Seguindo-se, agora, a estratégia que anteriormente envolveu o menor número de passos:

Passos 10 L 7 L 1 L
Início 10 0 0
1º passo 3 7 0
2º passo 3 6 1
3º passo 4 6 0
4º passo 4 5 1

Concluímos que a estratégia funcionou. Contudo, em vez de se resolver através de dois passos foram necessários quatro passos.

Em termos de sala de aula seria interessante que os alunos pudessem conjecturar que se resolveria uma situação semelhante a esta através de seis passos se as capacidades dos recipientes envolvidas fossem 12 litros, 9 litros e 1 litro e se pretendesse obter exactamente 6 litros de um determinado líquido.

A tabela seguinte ajuda a confirmar esta conjectura:

Passos 12 L 9 L 1 L
Início 12 0 0
1º passo 3 9 0
2º passo 3 8 1
3º passo 4 8 0
4º passo 4 7 1
5º passo 5 7 0
6º passo 5 6 1

Tendo em conta algumas regularidades existentes nas capacidades dos recipientes envolvidos na resolução das tarefas anteriores, indique quais seriam as medidas dos três recipientes envolvidos na medição exacta de 11 litros de um determinado líquido e justifique, também, qual o número mínimo de passos usados na sua obtenção.

publicado por Paulo Afonso às 09:53
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1 comentário:
De Itamar a 18 de Maio de 2009 às 17:49
Gostaria de obter resolução do seguinte problema:
Dispomos de duas vasilhas com capacidades de 9 e 4 litros respectivamente. As vasilhas não tem nenhum tipo de marcação, de modo que não é possível ter medidas como metade ou um terço. Mostre uma seqüência de passos, que usando as vasilhas de 9 e 4 litros encha uma terceira vasilha de medida desconhecida com seis litros de água.

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