Segunda-feira, 22 de Dezembro de 2008

Uma actividade de pesagens - detectar moedas falsas

O desafio de se detectarem moedas falsas, de entre um conjunto de moedas, e sem a possibilidade de se utilizarem quaisquer massas para as pesar, costuma ser muito utilizado como actividade de recreação matemática.

Neste sentido, e imaginando o uso de uma balança de dois pratos, poderemos pensar numa estratégia para se descobrir a moeda falsa existente num conjunto de cinco moedas, em que apenas ela é mais pesada que as demais. O desafio é tentar fazer essa descoberta num número mínimo de pesagens.

A estratégia a usar pode ser a seguinte: associemos às moedas as seguintes letras: A, B, C, D e E. Numa primeira pesagem poderemos colocar num dos pratos da balança as moedas A e B, colocando no outro as moedas C e D, ficando a moeda E de fora da balança. Nesta pesagem pode acontecer uma de duas coisas: (a) a balança fica equilibrada e a moeda falsa é a E ou (b) a balança desequilibra onde o peso for maior. Imagine-se, por exemplo, que a balança tinha desequilibrado no sentido do prato que continha as moedas C e D. Isto implica que uma delas será a moeda falsa. Para se descobrir qual é essa moeda, basta pesar, agora, C e D, colocando uma em cada prato da balança. Como esta desequilibraria no prato onde se encontrava a moeda mais pesada, então a moeda falsa ficaria descoberta. Conclui-se pois, que com o máximo de duas pesagens, a moeda falsa seria identificada.

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos investigassem quais as quantidades de moedas que também possibilitam a identificação da moeda falsa envolvendo um máximo de duas pesagens.

Seria desejável que os alunos referissem os valores 4, 5, 6, 7, 8 e 9 moedas.

Analisemos cada caso, com a excepção das 5 moedas já analisadas:

4 moedas: - colocam-se duas moedas em cada prato da balança (1ª pesagem). Esta vai desequilibrar para o prato em que o peso for maior. Logo, através de uma 2ª pesagem ficará identificada a moeda falsa, pois basta pesar as duas moedas que provocaram o desequilíbrio da balança, colocando uma em cada prato.

6 moedas: - colocam-se três moedas em cada prato (1ª pesagem). A balança irá desequilibrar no sentido do prato que tiver o maior peso. Então, com uma 2ª pesagem a moeda falsa será identificada, pois basta colocar uma moeda em cada prato e deixar a terceira moeda de fora. Se a balança equilibrar, a moeda falsa será a que não foi à balança; se a balança desequilibrar será no sentido do prato que contém a moeda falsa.

7 moedas: - colocam-se três moedas em cada prato, ficando um sétima moeda de fora (1ª pesagem). Se a balança equilibrar, a moeda falsa será a que ficou de fora; se a balança desequilibrar faz-se uma nova pesagem igual à 2ª pesagem do caso das 6 moedas.

8 moedas: - colocam-se três moedas em cada prato, ficando as outras duas moedas de fora (1ª pesagem). Se a balança equilibrar, a moeda falsa será uma das que ficou de fora, pelo que uma 2ª pesagem identificá-la-á. Se a balança tiver desequilibrado na 1ª pesagem, uma das três moedas do prato que revelou ter maior peso será a falsa. Uma vez mais, coloca-se uma moeda em cada prato e a terceira fica de fora. Se a balança equilibrar, a moeda falsa será a que não foi pesada; se a balança desequilibrar ficará identificada a moeda falsa.

9 moedas: - para este caso, o processo é muito semelhante aos anteriores. Apenas varia o número de moedas que não é envolvido na 1ª pesagem, pois três moedas ficarão em cada prato e as restantes três moedas não serão pesadas ainda.

Quantas pesagens serão necessárias para o caso de serem 10 moedas?

Uma 1ª pesagem envolveria quatro moedas em cada prato, ficando as restantes duas moedas de fora. Se a balança equilibrasse, a moeda falsa seria uma das duas que não foram pesadas, pelo que uma 2ª pesagem identificá-la-ia; se a balança desequilibrasse, a moeda falsa estaria no prato que continha as 4 moedas que provocaram o desequilíbrio. Assim, numa 2ª pesagem colocar-se-iam duas destas moedas num prato e as outras duas no outro. A balança iria desequilibrar e as duas moedas do prato de maior peso entrariam numa 3ª pesagem, identificando-se a falsa. Para este caso usar-se-iam, pois, três pesagens.

Quais as quantidades de moedas que também obrigam a que se façam, no máximo, três pesagens para se identificar a moeda falsa?

Este novo desafio tem como resposta todas as quantidades de moedas compreendidas entre 10 e 27.

A título de exemplo vamos analisar os casos das 27 e das 28 moedas:

27 moedas: - colocam-se nove moedas em cada prato e as restantes nove moedas ficam de fora (1ª pesagem). Quer a balança equilibre ou não, ter-se-á que realizar uma 2ª pesagem envolvendo, respectivamente, as nove moedas que não foram pesadas agora ou as nove que provocaram o equilíbrio. Assim, cada prato da balança teria três moedas, ficando também três moedas por pesar. Uma vez mais, só com uma 3ª pesagem se iria descobrir a moeda falsa, pois colocava-se uma moeda em cada prato e ficava uma de fora, moedas estas afectas ao grupo que provocou um novo desequilíbrio da balança ou afectas ao grupo que não foi pesado, tendo a balança permanecido em equilíbrio.

28 moedas: - colocam-se treze moedas em cada prato da balança e ficam apenas duas moedas por pesar (1ª pesagem). Se a balança equilibrar, a moeda falsa será uma das que não se pesou agora, pelo que uma 2ª pesagem ajuda a identificá-la; se a balança equilibrou, então há que se dividir as treze moedas em dois grupos de seis para serem novamente pesadas, deixando apenas uma de fora. Se houver equilíbrio, a moeda falsa é a que não foi pesada; se houver desequilíbrio, as seis moedas que o provocaram irão formar três grupos de duas moedas cada. Um destes fica de fora e os outros vão ser novamente pesados (3ª pesagem). Com esta pesagem fica-se a saber o grupo onde está a moeda falsa, pelo que uma última pesagem ajudará a identificá-la.

Estes valores deveriam suscitar em nós a interrogação de quais serão as quantidades de moedas que necessitam a realização de quatro pesagens para se conhecer a moeda falsa.

Contudo, olhando-se com "olhos de ver" para os valores já investigados, pode-se concluir que:

- com uma pesagem podem-se pesar até 3 moedas;

- com duas pesagens podem-se pesar até 9 moedas;

- com três pesagen podem-se pesar até 27 moedas.

Será legítimo conjecturar que com quatro pesagens poder-se-ão pesar até 81 moedas? Porquê? Que conceito matemático suporta esta regularidade ou padrão numérico?

publicado por Paulo Afonso às 00:56
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