Segunda-feira, 5 de Janeiro de 2009

Voltando ao número 120 - um caso de divisibilidade

Num dos artigos anteriores tive oportunidade de fazer uma reflexão acerca de algumas conexões matemáticas envolvendo o número 120. Na altura associei-o a questões do quotidiano, aos números triangulares, aos números de Fibonacci, à conjectura de Goldbach, aos quadrados mágicos, às potências de base dois e às potências de base três. Desta vez vou associar o número 120 às operações aritméticas, aos divisores de um número, bem como às regularidades algébricas.

Inicio esta nova reflexão a partir de uma actividade proposta por Pierrre Berloquim (1991), no fantástico livro intitulado "100 Jogos Numéricos", publicado em Portugal pela Editora Gradiva.

O enunciado original remetia para o valor 100, mas vou adaptá-lo para o número 120.

Assim, tente encontrar dois números inteiros de modo a obter-se o valor 120 pela adição da sua soma com a sua diferença e com o seu produto.

Ora, por via da experimentação ou da tentativa e erro, uma possível solução seria a que envolve os valores 30 e 2, pois a sua soma é 32, a sua diferença é 28 e o seu produto é 60; logo, 32 + 28 + 60 = 120.

Transportando este desafio para o contexto de sala de aula, seria interessante que os alunos tentassem investigar se ainda seria possível obter-se outras soluções.

O desejável era estruturar a resolução em termos algébricos, pois poder-se-ia pensar em dois números inteiros "x" e "y", sendo "x > y". O enunciado da tarefa permite a seguinte escrita matemática: x + y + (x - y) + xy = 120. Resolvendo esta equação, resulta que x = 120 / (2 + y). Ora, este resultado implica que se tenha que pensar num valor inteiro para o "y" de modo que ao adicionar-se ao valor 2, o resultado divida exactamente o valor 120. Assim, obter-se-á um valor inteiro para o "x".

Tendo em conta esta análise, seria interessante que os alunos encontrassem todos os divisores do 120, podendo fazê-lo pelo processo de decomposição em factores primos (factorização): 120 = 23 x 3 x 5. O conjunto dos divisores de 120 seria formado pelos seguintes elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. Voltando novamente à fórmula: x = 120 / (2 + y), obter-se-ão sete respostas:

y

x

x + y

x - y

xy

x + y + (x - y) + xy

0

60

60

60

0

60 + 60 + 0 = 120

1

40

41

39

40

41 + 39 + 40 = 120

2

30

32

28

60

32 + 28 + 60 = 120

3

24

27

21

72

27 + 21 + 72 = 120

4

20

24

16

80

24 + 16 + 80 = 120

6

15

21

9

90

21 + 9 + 90 = 120

8

12

20

4

96

20 + 4 + 96 = 120

Logo, as sete respostas possíveis envolvem os seguintes pares ordenados (60, 0); (40, 1); (30, 2); (24, 3); (20, 4); (15, 6) e (12, 8).

Note-se que ao adicionar-se o valor de "y" ao valor 2, obtém-se um divisor de 120, que ao multiplicar pelo respectivo valor de "x", outro divisor de 120, obtém exactamente o produto 120, isto é: (2, 60); (3, 40); (4, 30); (5, 24); (6, 20); (8, 15); (10, 12).

Pensemos agora no seguinte enunciado: tente encontrar dois números inteiros de modo a obter-se o valor 120 pela adição da soma do dobro do maior dos dois valores com o outro e com a diferença do dobro do maior com o outro e com o produto do dobro do maior com o outro.

Neste caso estamos perante a seguinte equação: 2x + y + (2x - y) + 2xy = 120. A sua resolução permite chegar-se à seguinte igualdade: x = 120 / (4 + 2y).

Fazendo-se uma tabela semelhante à anterior:

y

x

2x + y

2x - y

2xy

2x + y + (2x - y) + 2xy

0

30

60

60

0

60 + 60 + 0 = 120

1

20

41

39

40

41 + 39 + 40 = 120

2

15

32

28

60

32 + 28 + 60 = 120

3

12

27

21

72

27 + 21 + 72 = 120

4

10

24

16

80

24 + 16 + 80 = 120

resultam cinco possíveis soluções: (30, 0); (20, 1); (15, 2); (12, 3) e (10, 4).

Fazendo-se um paralelismo entre as duas tarefas acabadas de analisar, qual será o enunciado que permite, para o resultado 120, as seguintes soluções: (15, 0); (10, 1); (6, 3) e (5, 4)? Justifique o raciocínio utilizado.

publicado por Paulo Afonso às 00:03
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