Segunda-feira, 12 de Janeiro de 2009

Regularidades envolvendo números quadrados

Como tenho vindo a referir em artigos anteriores, as regularidades, sequências ou padrões numéricos são um tema muito apreciado no âmbito da recreação matemática.

O exemplo que escolhi para reflexão, a propósito deste tema, é adaptado, e expandido, a partir de uma tarefa proposta por Carlo Fabretti, no livro intitulado "El libro del genio matemático", publicado pelas Ediciones Martínez Roca (Barcelona) em 1999.

Imagine-se solicitado(a) a interpretar o padrão numérico que a seguir apresento. Como prova da sua compreensão dê-lhe continuidade: 

11 - 2 = 9

1111 - 22 = 1089

111111 - 222 = 110889

11111111 - 2222 = 11108889

...

Num contexto de recreação matemática a resposta correcta  (111111111 - 22222 = 1111088889) para esta tarefa poderia surgir com maior ou menor fundamentação teórica.

Parece-me que uma aproximação interessante, e que não exigia grandes conhecimentos matemáticos, passaria pela análise da disposição dos três conjuntos de algarismos envolvidos em cada igualdade. Assim, (a) percebe-se que o aditivo é sempre formado por um número par de uns; (b) o subtractivo, formado exclusivamente por números dois, vai aumentando uma unidade em cada nova igualdade que surge; (c) o resto, excesso ou diferença, com a excepção do primeiro caso, apresenta sempre o valor zero como ponto médio entre o conjunto de uns e o conjunto de oitos, ambos com o mesmo número de elementos, seguidos sempre do número nove.

A tabela seguinte pode evidenciar as regularidades envolvidas: 

ADITIVO SUBTRACTIVO RESTO, EXCESSO OU DIFERENÇA
Nº de uns Nº de dois Nº de uns Nº de zeros Nº de oitos Nº de noves
2 11 1 2 0   0   0   1 9
4 1111 2 22 1 1 1 0 1 8 1 9
6 111111 3 222 2 11 1 0 2 88 1 9
8 11111111 4 2222 3 111 1 0 3 888 1 9
10 1111111111 5 22222 4 1111 1 0 4 8888 1 9

A última linha da tabela anterior evidencia, pois, a continuidade do padrão aí descrito: 1111111111 - 22222 = 1111088889.

Remetendo esta situação para o contexto de sala de aula, seria desejável que os alunos pudessem constatar que o número de dois de cada subtractivo é sempre metade do número de uns do respectivo aditivo, pelo que este valor tem sempre um número par de elementos.

Além disto, também seria interessante concluir que o resultado de cada subtracção representa sempre um número que é múltiplo de nove.

Contudo, porventura o mais interessante seria concluírem que cada um desses resultados se trata de um número quadrado, pois: 9 = 32, 1089 = 332, 110889 = 3332, 11108889 = 33332.

De facto, pegando-se no exemplo 111 - 22, podemos estabelecer o seguinte desenvolvimento numérico:

1111 - 22 =

= 1111 - 2 x 11 =

= 1111 - 11 - 11 =

= 1100 - 11 =

= 11 x (100 - 1) =

= 11 x 99 =

= 11 x 9 x 11 =

= 11 x 11 x 9 =

= 112 x 9 =

= 112 x 32 =

= (11 x 3)2 =

= 332 = (número quadrado)

= 1089

Percebida esta demonstração, facilmente se percebe o caso seguinte:

111111 - 222 =

= 111111 - 2 x 111 =

= 111111 - 111 - 111 =

= 111000 - 111 =

= 111 x (1000 - 1) =

= 111 x 999 =

= 111 x 9 x 111 =

= 1112 x 32 =

= (111 x 3)2 =

= 3332 (número quadrado)

= 110889

Como extensão deste desafio os alunos poderiam ser desafiados a comparar os resultados obtidos agora com estes novos que apresento a seguir:

18

2178

221778

22217778

...

Admitindo que descobriam facilmente que este novo padrão numérico representava o dobro de cada resultado da tarefa acabada de analisar, investigue quais seriam, para cada caso, os respectivos aditivos e subtractivos?

publicado por Paulo Afonso às 00:04
link do artigo | comentar | favorito
|

mais sobre mim

pesquisar

 

Traduzir Blog


Visitas ao segundo

artigos recentes

Teia numérica

Xavier e o pensamento alg...

Dos pares ordenados ao pe...

À procura de regularidade...

Dar sentido aos números

Conexões matemáticas envo...

Dízimas infinitas periódi...

Do Futebol à Matemática

Sequência numérica enigmá...

União de Blogs de Matemát...

Calendários escritos em d...

Relógios matemáticos

Números oblongos e invest...

Conexão matemática entre ...

Conexão matemática entre ...

Conexões matemáticas envo...

Problemas de lógica envol...

Sequências numéricas cont...

Magia matemática envolven...

Números figurados em disp...

Comunicar em Matemática

Xavier e a Magia Matemáti...

Somas cruzadas

Utilização da Matemática ...

Pentágonos em relação alg...

Das regularidades numéric...

Pensamento algébrico - à ...

De volta ao número nove

Cubos mágicos

Pirâmides numéricas

Conexões matemáticas entr...

Pontes geométricas - cone...

Hexágonos mágicos

Dependência numérica - um...

Kakuro e pensamento aritm...

Sudoku e comunicação mate...

Geometria algebrizada - o...

Problemas que desenvolvem...

Triângulos mágicos de 9 n...

Conexões matemáticas e pe...

Regularidades envolvendo ...

A Matemática nos truques ...

Padrões de repetição e pa...

Investigações matemáticas...

Operar com números pares

Análise numérica de padrõ...

Figuras mágicas e tarefas...

Um caso prático de número...

Dos problemas aos conceit...

Explorando o factorial do...

Prazer matemático

Cortesía de AoPS

palavras-chave

todas as tags

links

Traduzir


Get Your Own Scroller

Contador

Web Counter

Janeiro 2013

Dom
Seg
Ter
Qua
Qui
Sex
Sab
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

Pessoas on-line

online

Publicidade

Este Blog é membro do União de Blogs de Matemática


"

MusicPlaylist