Segunda-feira, 9 de Março de 2009

Cadelas que não se entendem - um caso de permutações

Os temas das permutações, arranjos ou combinações costumam ser o suporte de algumas actividades de recreação matemática. Contudo, nem sempre o domínio desses conteúdos matemáticos é condição necessária para que essas actividades de recreação matemática sejam resolvidas, pois pode haver o recurso a outro tipo de estratégias de resolução, como seja a tentativa e erro ou a utilização de uma lista organizada.

O exemplo que escolhi para me auxiliar a reflectir sobre este tema tem a ver com um caçador e com os seus dois cães e três cadelas.

Os cães chamam-se Gorbi e Júpiter; as cadelas chamam-se Bianca, Upi e Violeta.

No respectivo canil, o caçador não gosta de colocar os cinco animais sempre no mesmo compartimento ou divisão. Como sabe que as três cadelas, quando presas no canil, estão sempre a ladrar umas para as outras, costuma intervalá-las com um dos cães.

Sabendo que os cinco compartimentos ou divisões estão colocados uns ao lado dos outros, como mostra o esquema seguinte, averigue como podem ser distribuídos os cinco animais de modo a que as três ou duas cadelas nunca fiquem juntas:

CANIL:
         

Esta actividade obriga a que se faça um estudo exaustivo de todas as possibilidades que existem de se distribuírem os cinco animais nos cinco compartimentos.

A opção pela realização de uma lista organizada iria permitir obter 120 casos de distribuição diferente dos cinco animais, pois estamos perante o conceito matemático das permutações, que envolve o conceito de número factorial (5!). De facto, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Contudo, somente 12 desses casos permitem que as três cadelas tenham um cão entre elas, de forma a que não ladrem umas para as outras. Esses 12 casos são os seguintes:

Bianca Gorbi Upi Júpiter Violeta
Bianca Gorbi Violeta Júpiter Upi
Bianca Júpiter Upi Gorbi Violeta
Bianca Júpiter Violeta Gorbi Upi
Upi Gorbi Violeta Júpiter Bianca
Upi Gorbi Bianca Júpiter Violeta
Upi Júpiter Violeta Gorbi Bianca
Upi Júpiter Bianca Gorbi Violeta
Violeta Gorbi Upi Júpiter Bianca
Violeta Gorbi Bianca Júpiter Upi
Violeta Júpiter Upi Gorbi Bianca
Violeta Júpiter Bianca Gorbi Upi

Um amigo deste caçador quando tinha apenas um cão (Bigodes) e duas cadelas (Laica e Felpuda) também os colocava em compartimentos individuais, semelhantes aos do seu amigo, pois as cadelas só sossegavam quando tinham o cão no compartimento situado entre os seus. Para não colocar sempre os animais nos mesmos compartimentos, costumava mudá-los de sítio, de modo utilizar as duas possíbilidades que tinha:

Laica Bigodes Felpuda
Felpuda Bigodes Laica

Uma vez mais, 3! = 3 x 2 x 1 = 6, mas destas seis possibilidades, apenas as duas evidenciadas na tabela anterior satisfaziam as condições de entendimento das cadelas...

Quando a este caçador lhe deram um novo cão (Piloto), mandou fazer um novo compartimento junto aos dos outros animais e viu aumentadas as possibilidades de colocar as cadelas em várias posições, sempre tendo entre elas pelo menos um dos cães. Feitas as contas, conseguia distribuir os quatro animais por 24 possibilidades diferentes (4!), mas somente em 12 desses casos não teria problemas com as cadelas, como mostra a seguinte tabela: 

Laica Bigodes Felpuda Piloto
Laica Piloto Felpuda Bigodes
Felpuda Bigodes Laica Piloto
Felpuda Piloto Laica Bigodes
Laica Bigodes Piloto Felpuda
Laica Piloto Bigodes Felpuda
Felpuda Bigodes Piloto Laica
Felpuda Piloto Bigodes Laica
Piloto Laica Bigodes Felpuda
Piloto Felpuda Bigodes Laica
Bigodes Laica Piloto Felpuda
Bigodes Felpuda Piloto Laica

Entretando a Bianca e o Júpiter acasalaram e o seu amigo ofereceu-lhe o mais belo cachorro desta ninhada, a que deu o nome de Forasteiro. De imediato mandou fazer um novo compartimento junto aos dos outros animais e quando este cresceu também o envolveu neste tipo de rotatividade de posição por entre os cinco compartimentos. Neste caso, das 120 permutações possíveis (5!), verificou que havia 72 casos em que as duas cadelas nunca ficariam em compartimentos adjacentes.

Ao verificar estas possibilidades interrogou-se quantas seriam se em vez de ter duas cadelas e três cães, tivesse duas cadelas e quatro cães. Qual será a resposta, de modo a que as cadelas continuem a não ficar em compartimentos adjacentes?

publicado por Paulo Afonso às 00:09
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