Segunda-feira, 30 de Março de 2009

Caminhos numéricos

Aparentemente desligada de qualquer conceito matemático, a figura seguinte visa obter um resultado final a partir de um número dado e de dois critérios operativos numéricos, um na horizontal e outro na vertical:

Este desafio, pela sua simplicidade, permite que rapidamente seja encontrado o valor 11 para a célula final:

Em contexto de sala de aula seria desejável que os alunos concluíssem que cada valor colocado numa linha oblíqua resulta da combinação das duas operações a realizar, respectivamente, em linha e em coluna. Neste caso, trata-se da adição de 5 unidades. Como isto ocorre duas vezes na linha diagonal máxima desta figura, significa que o resultado final (F) será a soma do valor de partida (P) com duas vezes a adição de 5 unidades: F = P + 5 + 5. Simplificando, F = P + 2 x 5:

Esta tarefa permite que os alunos sejam desafiados a identificar todos os percursos desde o valor 1 inicial até ao valor 11 final. Com esta questão estar-se-á a trabalhar o conceito matemático da decomposição do número, pois identificar-se-ão algumas decomposições do valor 11:

1 + 2 + 2 + 3 + 3 = 11 1 + 2 + 5 + 3 = 11 1 + 2 + 3 + 2 + 3 = 11
1 + 2 + 3 + 5 = 11 1 + 2 + 3 + 3 + 2 = 11 1 + 5 + 2 + 3 = 11
1 + 5 + 5 = 11 1 + 5 + 3 + 2 = 11 1 + 3 + 2 + 2 + 3 = 11
1 + 3 + 2 + 5 = 11 1 + 3 + 2 + 3 + 2 = 11 1 + 3 + 5 + 2 = 11
1 + 3 + 3 + 2 + 2 = 11    

Estas são, pois, 13 possibilidades de decompor o valor 11.

Voltando à situação inicial, constata-se que a fórmula identificada (F = P + 2 x 5) funciona para outros casos, como os seguintes:

No 1º caso: 2 + 2 x 5 = 12. No 2º caso: 10 + 2 x 5 = 20.

Se se mudarem os critérios aditivos, quer em linha, quer em coluna, será que a regularidade, agora identificada, também se mantém?

Vejamos os seguintes casos: 

No 1º caso: 1 + 2 x 7 = 15. No 2º caso: 10 + 2 x 11 = 32. Confirma-se, pois, que o valor final resulta sempre da adição do valor inicial com o dobro da soma dos operadores aditivos envolvidos em em linha e em coluna.

Será que a operação multiplicação também permite uma analise semelhante a este caso da adição?

Iniciemos o estudo através da figura seguinte:

Note-se que, neste caso, também poderemos avançar com um algoritmo que servirá para vários casos envolvendo estes valores operativos: F = P + 6 x 6, isto é, F = P x 62:

Concluimos, pois, que esta operação envolve o conceito de potenciação, pois o valor final resulta do produto do valor inicial com o quadrado do valor envolvido no produto dos operadores em linha e em coluna.

Esta nova lei geral também se aplica no caso se se substituir o valor inicial 1 pelo valor 2:

 

Confirma-se que 2 x 62 = 72.

Tendo em conta estas análises, recorra ao esquema seguinte para confirmar a sua identificação do valor final para um novo caso como estes, em que os critérios multiplicativos  passam a ser "x 5" na horizontal e "x 6" na vertical e cujo valor inicial é 100:

Se este mesmo quadro de 3 por 3 passasse à forma 5 x 5, qual seria o valor final? Como se deve obter esse valor sem se recorrer à elaboração do esquema?

publicado por Paulo Afonso às 00:02
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