Segunda-feira, 27 de Abril de 2009

Sequências numéricas lacunadas

Ao nível da recreação matemática é vulgar assistirmos à apresentação de sequências numéricas em que nos é solicitado que as continuemos ou que descubramos as leis gerais que, matematicamente, as suportam.

Um exemplo ilustrativo do que acabo de referir é a tarefa seguinte, que visa a descoberta dos números que faltam:

 

36     __     52     60     __

 

Esta tarefa pode ser facilmente resolvida, pois, o par de números 52 e 60 dá-nos a pista de que os números estão dispostos segundo um progressão aritmética de razão 8, com início no valor 36.

Esta constatação permite que associemos a primeira lacuna ao valor 44 e a última ao valor 68, pois, 44 = 36 + 8 e 68 = 60 + 8.

Em situação de sala de aula seria interessante que os alunos descobrissem a lei geral desta sequência numérica, estabelecendo um raciocínio semelhante ao que apresento a seguir:

1º termo             -     36 = 36 + 0 x 8

2º termo             -     44 = 36 + 1 x 8

3º termo             -     52 = 36 + 2 x 8

4º termo             -     60 = 36 + 3 x 8

5º termo             -     68 = 36 + 4 x 8

...

nésimo termo     -     T   = 36 + (n - 1) x 8 

Tendo em conta esta lei geral, facilmente podemos obter um qualquer número desta sequência, pois o valor em causa resulta da adição do número 36 com o produto da posição que esse número ocupa na sequência, menos uma unidade, e o valor 8.

A título de exemplo, o 11º termo desta sequência numérica é o 116, pois 116 = 36 + (11 - 1) x 8.

Analisando um pouco mais esta sequência de números, também se constata que cada um é a soma de oito números consecutivos. Veja-se o caso dos três primeiros números da sequência:

Confirma-se que 36 é o resultado da adição dos oito primeiros números naturais; 44 é a soma de oito números naturais, iniciados pelos valor 2, e o 52 também resulta da adição de oito números naturais, iniciados pelor valor 3.

Tendo em conta este novo padrão ou regularidade, poder-se-ia pensar quais seriam os oito números naturais consecutivos, cuja soma fosse 100:

Ora, igualando a lei geral [36 + (n - 1) x 8] a 100, descobre-se para "n" o valor 9. Logo, o início da sequência numérica será o número 9. De facto, 100 = 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16:

O que acontecerá se os números utilizados forem apenas os números ímpares?

Vejamos os três primeiros exemplos:

Neste caso, a identificação da lei geral dos números envolvidos nas somas passa pelo seguinte raciocínio:

1º termo             -     65 = 64 + 0 x 16

2º termo             -     80 = 64 + 1 x 16

3º termo             -     96 = 64 + 2 x 16  

...

nésimo termo     -     T   = 64 + (n - 1) x 16

Quais serão so oito números naturais ímpares consecutivos cuja soma é 160?:

Experimente fazer, também, um estudo para o caso dos números pares e tire as respectivas conclusões.

publicado por Paulo Afonso às 00:03
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1 comentário:
De Neilton Galvao a 9 de Dezembro de 2010 às 02:57
soma= 160
termos da progressao aritmetica =
X + (X+2) + (X+4) + (X+6) + (X+8) + (X+10) + (X+12) + (X+14)

resolvendo a equacao:
8X + 56 = 160
X = 13
logo 160 = 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27

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