Segunda-feira, 4 de Maio de 2009

Rãs de pele lisa, rãs de pele às riscas e padrões numéricos

Numa recente publicação* portuguesa sobre o tema dos padrões no ensino e aprendizagem da matemática, da autoria de Isabel Vale, Ana Barbosa, António Borralho, Elsa Barbosa, Isabel Cabrita, Lina Fonseca e Teresa PImentel, deparei-me com uma interessante tarefa envolvendo sapos e rãs que pretendiam atravessar um lago. O enunciado era o seguinte: "Dois sapos e duas rãs precisam de atravessar um lago e têm cinco pedrinhas para não ter de mergulhar na água fria. Podem avançar para a pedra seguinte ou saltar por cima de um companheiro, mas não podem voltar para trás.

1. Qual é o número mínimo de movimentos necessários?

2. Resolve o mesmo problema para três animais da mesma espécie.

3. E se fossem 100 rãs?" (Vale et al., 2009, p. 62).

 

* - Vale, I. et al. (2009). Padrões no ensino e aprendizagem da matemática - propostas curriculares para o ensino básico. Viana do Castelo: Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Viana do Castelo. 

 

Não vou, para já, dar resposta a esta tarefa, mas a mesma levou a que eu próprio me interrogasse com as seguintes questões:

1 - E se em vez de serem dois sapos e duas rãs, com uma única pedra vazia a separá-los, fossem apenas uma rã de pele lisa  e outra de pele às riscas, mas com duas pedras disponíveis para elas poderem avançar, como mostra a figura seguinte? Quantos seriam os movimentos para que viessem a trocar de posição, mantendo as condições do enunciado dos sapos e das rãs?

 

2 - E se fossem duas rãs de pele lisa e outras duas rãs de pele às riscas, mas continuando a ter as duas pedras a separá-las? Quantos movimentos haverá a fazer?

Vamos analisar a situação, caso a caso.

A tabela seguinte permite evidenciar o tipo de movimentos que as rãs poderão fazer, havendo apenas uma de pele lisa (rã A) e outra de pele às ricas (rã B):

Nº de Movimentos Posição das rãs nas pedras do lago  
Início A     B
1º movimento   A   B
2º movimento     A B
3º movimento   B A  
4º movimento   B   A
5º movimento B     A

A tabela anterior permite concluir que são necessários 5 movimentos para que as rãs troquem de posição.

Analisemos, agora, o caso de serem duas rãs de pele lisa (rãs A e B) e duas rãs de pele às riscas (rãs C e D), continuando a haver duas pedras vazias entre elas:

Nº de Movimentos Posição das rãs nas pedras do lago  
Início A B     C D
1º movimento A   B   C D
2º movimento A     B C D
3º movimento A   C B   D
4º movimento   A C B   D
5º movimento C A   B   D
6º movimento C A   B D  
7º movimento C A     D B
8º movimento C   A   D B
9º movimento C     A D B
10º movimento C   D A   B
11º movimento C D   A   B
12º movimento C D     A B

Esta tabela permite concluir que serão necessários mais 7 movimentos do que no caso anterior, pois só ao fim de 12 movimentos das rãs é que as suas posições ficam permutadas. 

Estes dois casos, agora analisados, permitem que se coloque a seguinte conjectura: "serão necessários mais 7 movimentos do que estes 12, para o caso de serem três rãs de pele lisa (A, B e C) e três rãs de pele às riscas (D, E e F), continuando a haver duas pedras livres entre elas?"

Testemos a conjectura com a tabela seguinte:

Nº de Movimentos Posição das rãs nas pedras do lago 
Início A B C     D E F
1º movimento A B   C   D E F
2º movimento A B     C D E F
3º movimento A B   D C   E F
4º movimento A   B D C   E F
5º movimento A D B   C   E F
6º movimento A D B     C E F
7º movimento A D B   E C   F
8º movimento A D   B E C   F
9º movimento A D   B E C F  
10º movimento A D   B E   F C
11º movimento A D     E B F C
12º movimento   D A   E B F C
13º movimento D   A   E B F C
14º movimento D   A E   B F C
15º movimento D E A     B F C
16º movimento D E A   F B   C
17º movimento D E A   F   B C
18º movimento D E   A F   B C
19º movimento D E F A     B C
20º movimento D E F   A   B C
21º movimento D E F     A B C

A tabela anterior não confirma a conjectura formulada, mas o estudo deste terceiro caso, associado aso anteriores, permite o estabelecimento de algumas relações numéricas entre o número de cada tipo de rãs para cada caso e o respectivo número total de movimentos:

Nº de rãs de cada tipo Total de movimentos de todas as rãs
1 5
2 12
3 21

Note-se que de 5 para 12 vão 7 e que de 12 para 21 vão 9. Logo, será de prever que para quatro rãs de cada tipo haveria 21 + 11 movimentos, o que resultava no valor 32.

Analisemos os valores da coluna do total de movimentos de todas as rãs e vejamos a seguinte constatação:

5 = 1 x 5

12 = 2 x 6

21 = 3 x 7

Logo, 4 x 8 = 32.

Por sua vez:

5 = 1 x (5 + 0)

12 = 2 x (5 + 1)

21 = 3 x (5 + 2)

Logo, 4 x (5 + 3) = 32.

Esta última análise permite que cheguemos à lei de formação destas regularidades numéricas:

Para "n" rãs de cada tipo, o número de movimentos a realizar será o seguinte: n x [5 + (n - 1)]. 

Tendo em conta esta lei geral, qual o número de movimentos a realizar por 10 rãs de cada tipo, continuando a haver duas pedras livres entre elas?

Tente fazer o estudo para o caso descrito no início deste texto, enunciado no livro dos autores supra mencionados, isto é, havendo apenas uma pedra livre entre: (a) um sapo e uma rã, (b) dois sapos e duas rãs, (c) três sapos e três rãs e, (d) a respectiva lei geral.

Consegue estimar a lei geral para o caso de haver três pedras livres entre estes seres vivos?

publicado por Paulo Afonso às 00:28
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