Segunda-feira, 11 de Maio de 2009

Explorando os números de fibonacci

A sucessão de números de fibonacci é propícia ao desenvolvimento de actividades de recreação matemática. Como é sabido, trata-se de um conjunto de números em que o termo seguinte é a soma dos dois termos anteriores, exceptuando-se os dois primeiros valores que são uns. Eis o início da sucessão:

 

1     1     2     3     5    8    11     19    ...

 

Basta-nos uma breve pesquisa na Internet para nos apercebermos da importância desta sequência numérica ao nível do estabelecimento de conexões entre a matemática e o quotidiano.

 

Este conjunto de números apresenta curiosidades matemáticas interessantíssimas. Uma delas é a de que a soma dos dez primeiros termos é igual ao produto do sétimo termo por 11. Vejamos:

 

1     1     2     3     5     8     13     21     34     55     ...

 

  • 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143
  • 11 x 13 (7º termo) = 11 x (10 + 3) = 11 x 10 + 11 x 3 = 110 + 33 = 143

O interessante desta relação é que também funciona para quaisquer outros dez números que sejam relacionados de acordo com as regras desta sucessão, isto é, um determinado termo ser a soma dos dois que o antecedem.

 

Testemos esta ideia, por exemplo, com o seguinte conjunto de números: 3     4     7     11     18     29     47     76     123     199

 

Veja-se que:

3 + 4 + 7 + 11 + 18 + 29 + 47 + 76 + 123 + 199 = 517

11 x 47 = 11 x 40 + 11 x 7 = 440 + 77 = 517

Confirma-se, pois, esta curiosidade matemática.

 

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos estudassem a relação algébrica que caracteriza o crescimento desta sucessão.

 

Assim, se os dois primeiros termos forem "a" e "b", respectivamente, o 3º termo será "a + b". Por sua vez, o 4º termo será "a + 2b"; o 5º será "2a + 3b" e o 6º será "3a + 5b".

 

Note-se que se estão a utilizar nos coeficientes do "a" e do "b" os números relativos à sucessão original de fibonacci.

 

Logo, se se juntarem os dois últimos coeficientes que se obtiveram para o "a", que são o 2 e o 3, obtém-se o valor 5. Depois, se se juntarem os dois últimos coeficientes obtidos para o "b", o 3 e o 5, origina-se o valor 8. Assim, "5a + 8b" será o valor do 7º elemento. Consequentemente, o próximo número terá que resultar de "8a + 13b"; o 9º resulta de "13a + 21b" e o 10º resulta de "21a + 34b".

 

Bastava adicionar-se todas as somas que fomos descobrindo para cada um dos dez números ordinais da sequência e, ao dividir essa soma por onze dava "5a + 8b", que é o valor do 7º elemento.

 

De facto, a soma dos dez primeiros termos de qualquer sequência deste tipo origina "55a + 88b", que é, precisamente, onze vezes maior que "5a + 8b".

 

Outra curiosidade interessante deste conjunto numérico é a seguinte:

 

- escolhem-se quatro números sucessivos, como  por exemplo: 2     3     5     8;

- multiplicam-se os extremos: 2 x 8 = 16;

- subtrai-se o quadrado do 3º termo pelo quadrado do 2º: 52 - 32 = 25 - 9 = 16.

 

Será que esta curiosidade se mantém para quaisquer outros quatro números sucessivos desta sequência ou de uma outra que mantenha esta regra de construção?

publicado por Paulo Afonso às 00:02
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1 comentário:
De Fábio a 7 de Dezembro de 2009 às 22:15
Consideramos quatro números (de fibonnaci) consecutivos : a, b, a+b, a+2b. Como (a+b)^2 - b^2 = a^2 + 2ab + b^2 - b^2 = a^2 + 2ab = a(a+2b), e esta mostrado que esta propriedade é verdadeira :D
Uma coisa engraçada é tbm alargar o dominio da 'função' de IN para Z, dados que f(1)=f(2) = 1 e f(n+1) = f(n)+f(n-1) mostre que f(-n)= f(n)x(-1)^(n+1), bonitinho x)
Abraço

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