Segunda-feira, 18 de Maio de 2009

Sequências numéricas em figuras triangulares

Associar números a figuras geométricas permite a exploração de múltiplas situações de recreação matemática. Observemos o seguinte triângulo numérico, formado por 9 triângulos mais pequenos:

Numa primeira análise, podemos dividir a figura num triângulo e num trapézio isósceles. Além disto, podemos obter esses dois tipos de figuras através de três processos diferentes:

 PROCESSO A:

 

  

PROCESSO B: 


  

PROCESSO C: 

Analisando-se os três processos em simultâneo verificam-se algumas curiosidades matemáticas muito interessantes. Assim: (a) as somas dos números das figuras triangulares são as seguintes:

Processo A - 19

Processo B - 20

processo C - 21

(b) por sua vez, as somas dos números das figuras trapezoidais são as seguintes:

Processo A - 26

Processo B - 25

Processo C - 24

Existem, pois, estas duas regularidades numéricas.

Contudo, a figura inicial, em vez de ser decomposta num triângulo e num trapézio, pode ser dividida em três triângulos geometricamente iguais: 

CASO A CASO B CASO C

Uma vez mais, também agora estamos perante uma regularidade numérica, pois a soma dos números envolvidos no caso A é 19, no caso B é 20 e no caso C é 21. Tinha que ser assim, pois os triângulos da tabela anterior são os mesmos que antes foram separados dos respectivos trapézios isósceles.

Imagine-se, contudo, que o triângulo inicial não era o que deu origem a todas estas análises, mas, sim, este:

Fazendo, agora, a análise apenas através da decomposição em três triângulos, será que continua a haver regularidade numérica?

Vejamos a tabela seguinte: 

CASO A CASO B CASO C

 A soma do caso A é 21, a do caso B é 19 e a do caso C é 20. Estamos, pois, perante os mesmos valores obtidos na situação anterior.

Vejamos uma terceira possibilidade de se distribuírem os números pelos 9 triângulos da figura, bem como a respectiva divisão em três triângulos:

 

CASO A CASO B CASO C

Eis as somas:

Caso A - 20

Caso B - 21

Caso C - 19

Uma vez mais, os valores repetem-se!

Note-se que todos os casos analisados contemplam o 1, o 2 e 3 nos vértices do triângulo maior.

Será que se fizer o estudo para o caso de os números dos vértices serem o 9, o 8 e o 7, também se obtêm regularidades semelhantes?

publicado por Paulo Afonso às 00:00
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