Terça-feira, 1 de Setembro de 2009

O cálculo de áreas e os números de Fibonacci

Como o prometido é devido, aqui estou de volta para mais um ano de dedicação a este blog, cujo tema base é a Matemática Recreativa. Aproveito a oportunidade para agradecer aos meus leitores que nestes dois meses de interregno continuaram a visitar este blog. É também para eles que continuarei a investir nas reflexões que este importante tema nos pode suscitar. A filosofia dos artigos continuará a ser a mesma de sempre, isto é, um artigo por semana, tendo uma explicação inicial, seguida de um desafio, susceptível de chegar às pessoas em geral, e à sala de aula de Matemática, em particular.

O tema que escolhi para reflexão - números de Fibonacci - já tem sido várias vezes referenciado neste blog. Nesta ocasião conectá-lo-ei ao tema do cálculo de áreas de figuras rectangulares, designadamente os quadrados.

Imaginem que uma menina, de nome Alice, decide construir, com ajuda do seu avô Artur, antigo professor de Matemática, um chão para a sua casa de bonecas apenas baseado em quadrados. Começa por construir em cartão um quadrado com um centímetro de lado, como este da figura:

Vendo o entusiasmo da sua neta, o avô Artur perguntou-lhe qual a área desse quadrado. A Alice respondeu prontamente que era um centímetro quadrado.

De seguida, construiu um quadrado igual e colocou-o ao lado do anterior, como mostra a figura:

 

Assim que o avô lhe perguntou pela medida da área deste novo quadrado, a Alice respondeu que era novamente um centímetro quadrado.

O avô pressentiu que a sua neta ia construir um novo quadrado semelhante aos dois anteriormente construídos e sugeriu-lhe que o construísse, tendo em conta que a medida do lado teria de ser igual à soma das medidas dos lados dois dois quadrados anteriores.

Eis como ficou o chão da casa de bonecas após a construção do novo quadrado:

Antes de o avô lhe perguntar pela medida da área deste novo quadrado, a Alice referiu que a mesma era de quatro centímetros quadrados. Justificou a sua observação, referindo que este novo quadrado tinha dois centímetros de lado.

Aproveitando o entusiasmo da neta, o sr. Artur continuou a desafiá-la no sentido de a construção do próximo quadrado manter a regra seguida no caso anterior, isto é, a medida do lado ser a soma das medidas dois lados dos dois últimos quadrados construídos.

Eis como ficou o chão da casa de bonecas após a inclusão do novo quadrado, respeitando as indicações do seu avô:

 

 - Avô: este novo quadrado tem nove centímetros quadrados de área - referiu a Alice.

Perante esta intervenção, o avô da Alice pediu para ela pensar em qual seria a medida da área do próximo quadrado, se mantivesse o critério de construção que estava a seguir, isto é, a medida do lado ser igual á soma das medidas dos dois últimos quadrados construídos por ela.

Prontamente ela respondeu que seria vinte e cinco centímetros quadrados, pois o próximo quadrado teria cinco centímetros de lado, pois seria (3 + 2) centímetros. Eis como ficou o chão da casa de bonecas:

Se o chão final da casa de bonecas continuar a ser formado de acordo com este critério, isto é, só por quadrados, sendo que cada quadrado novo tem de medida de lado a soma das medidas dos lados dois dois últimos quadrados construídos e sabendo que a sua área final é de quatro mil, oitocentos e noventa e cinco centímetros quadrados, qual é a figura que ilustra esse chão? Quais serão as medidas dos lados dos dois últimos quadrados construídos pela Alice?

publicado por Paulo Afonso às 00:15
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2 comentários:
De Francisco a 1 de Setembro de 2009 às 21:55
1 = 1cm²
1 + 0 = 1 = 1cm²
1 + 1 = 2 = 4cm²
2 + 1 = 3 = 9cm²
3 + 2 = 5 = 25cm²
5 + 3 = 8 = 64cm²
8 + 5 = 13 = 169cm²
13 + 8 = 21 = 441cm²
21 + 13 = 34 = 1156cm²
34 + 21 = 55 = 3025cm²

55
De Paulo Afonso a 2 de Setembro de 2009 às 11:51
Estimado Francisco, muito obrigado pela sua resposta. De facto, as áreas de cada quadrado que vai ser acrescentado à construção do chão da casa das bonecas tira partido da sequência de números de Fibonacci. Contudo, sabendo que a sua área final é de quatro mil, oitocentos e noventa e cinco centímetros quadrados, qual é a figura que ilustra esse chão? Quais serão as medidas dos lados dos dois últimos quadrados construídos pela Alice?
Um abraço amigo!

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