Terça-feira, 8 de Setembro de 2009

De Mataix ao jogo do Trinca-Espinhas - Um caso de divisores

Durante este período de férias tive a oportunidade de me cruzar com o interessante livro de Mariano Mataix, intitulado "A Maçã da Discórdia"*. Constituído por 149 situações de recreação matemática, a nº 2, com o título "Uma partida do dom Félix e Arquimedes Garcia" fez-me lembrar um jogo didáctico com que trabalhei os divisores de um número aquando da minha formação inicial. O jogo chamava-se o Trinca-Espinhas.

 

* - Mataix, M. (2008). A Maçã da Discórdia. RBA Editores.

 

Mas vamos por partes. Começo por tomar a liberdade de transcrever o texto dessa actividade nº 2:

"Começa-se com os números naturais de 1 até N, escritos em fila. Primeiro joga Arquimedes e as regras a seguir são estas:

a) Arquimedes tira o número que quer da fila e apaga-o, sujeito a cumprir a condição de nunca tirar um número do qual não fique nenhum factor na fila.

b) Dom Félix joga depois, apagando dos restantes números todos aqueles que são factores do que Arquimedes escolheu.

c) O jogo termina quando Arquimedes não pode escolher mais números. neste momento Arquimedes tem de fazer com que a soma dos números que tirou seja a menor possível" (p. 9).

O exemplo que Mataix disponibilizou para os seus leitores é o caso em que N = 7. Se Arquimedes escolher o 6, dom Félix ficará com o 1, o 2 e o 3. Logo, a soma mínima é 6.

Como será para o caso de N = 20?

Porque é que eu digo que este desafio me fêz recordar do jogo do Trinca-Espinhas? Precisamente, porque este jogo baseia-se, na essência, nas regras acima enunciadas. A única alteração é que cada jogador joga contra o computador, personalizado na figura do Trinca-Espinhas e em que os números sobrantes ficam para o Trinca-Espinhas, sendo o objectivo do jogo obter uma soma maior do que a soma dos números com que o Trinca-Espinhas fica.

Eis o exemplo de se ganhar ao Trinca-Espinhas, quando N = 10:

Jogador X Trinca-Espinhas
7 1
9 3
6 2
8 4
10 5

Note-se que, neste caso, não sobrou mais nenhum número para o Trinca-Espinhas, pois todos foram envolvidos na selecção feita pelo Jogador X.

Fazendo-se as respectivas somas, o Jogador X obteve 40 pontos e o Trinca-Espinhas apenas 15 pontos.

Qual a estratégia ganhadora par N = 20?

Estes exemplos permitem, como sempre, múltiplas extensões. Uma delas passa por se conectar a decomposição do número ao conceito de número primo e aos critérios de divisibilidade.

Imaginem-se os dez primeiros números naturais:

1    2     3     4     5     6     7     8     9     10

O jogo consiste em retirar-se um número desse conjunto, de cada vez, de modo a que os respectivos números que o originam, por decomposição em parcelas, também sejam eliminados do conjuto. Quando já não se puder retirar mais nenhum número, por não haver possibilidade de se obter esse número com os números ainda restantes, estes têm que originar um soma que seja um número primo.

Exemplifiquemos:

Números retirados Sua obtenção pelo processo aditivo
3 1 + 2
9 4 + 5

Neste caso já não há mais números que possam ser esclhidos, porque os mesmos não se conseguirão obter com os restantes que ainda estão em jogo. Logo, sobram os seguintes números: 6, 7, 8 e 10. A sua soma é 31, logo é uma caso de sucesso, pois o 31 é um número primo.

Haverá mais casos de sucesso? Quais?

publicado por Paulo Afonso às 00:02
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