Sábado, 24 de Outubro de 2009

Bases e sistemas de numeração

Gostava de começar este meu novo artigo através da colocação da seguinte situação problemática: "O Ricardo é coleccionador de calendários de bolso. Como já é possuir de um grande número de calendários, decidiu arquivá-los segundo um critério muito interessante. Sempre que tem 6 calendários avulso adquire uma mica plástica para os guardar, ficando a mica cheia. Sempre que consegue obter 6 micas cheias, adquire um dossiê para as arquivar, ficando este cheio. Ao ter 6 dossiês completos arruma-os numa caixa que fica cheia. Por último, ao ter 6 caixas cheias consegue preencher, na íntegra, uma prateleira de um armário que concebeu para este propósito. Sabendo que o Ricardo tem uma prateleira completa, dois dossiês completos e cinco calendários avulso, qual o número de calendários da sua colecção?"

Esta situação pode facilmente ser visualizada numa tabela:

Grupos de 1296 Grupos de 216 Grupos de 36 Grupos de 6 Unidades
Prateleiras Caixas Dossiês Micas Avulso

*

 

*

*

 

*

*

*

*

*

Pela análise da tabela sabemos que existe um grupo de 1296 calendários, dois grupos de 36 calendários e ainda cinco calendários avulso. Logo, fica:

1 x 1296 + 2 x 36 + 5 = 1373. Conclui-se, pois, que a colecção é formada por 1373 calendários.

Note-se que os valores 1296, 216, 36, 6 e 1 podem ser associados às seguintes potências de base seis: 64, 63, 62, 61 e 60, respectivamente.

Logo, 1373 = 1 x 64 + 2 x 62 + 5 x 60.

Imagine-se, agora, que a irmã do Ricardo, de nome Maria, também é coleccionadora de calendários. Curiosamente arquiva a sua colecção segundo os mesmos critérios do seu irmão. Sabendo que a sua colecção é composta por 700 calendários, como estão arquivados?

Esta tarefa pressupõe que em primeiro lugar se procure o número de micas necessárias para arquivar este número de calendários avulso. Para tal façamos a seguinte divisão:

 

Conclui-se que os 700 calendários originam 116 micas cheias, sobrando 4 calendários avulso.

De seguida deveremos averiguar o número de dossiês necessários para arquivar essas 116 micas, pelo que devemos voltar a dividir por 6:

Conclui-se que as 116 micas originam 19 dossiês e sobram duas micas soltas. Resta saber agora quantas caixas são necessárias para arquivar os 19 dossiês. Uma nova divisão por 6 resolve o problema:

 

Em resumo: os 700 calendários da Maria estão arquivados da seguinte forma: 4 avulso, 2 micas cheias, 1 dossiê e 3 caixas.

Em contexto de sala de aula estas duas situações problemáticas poderiam servir para se abordar o sistema de numeração decimal, comparando-o com outros sistemas, como este que utiliza a base seis.

Note-se que se em vez de conheceremos os dez símbolos numéricos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9, só conhecêssemos os seis primeiros: 0, 1, 2, 3, 4 e 5, a representação simbólica 10205, escrita na base seis (1 prateleira, zero caixas, 2 dossiês, zero micas e 5 calendários avulso), seria a representação da quantidade mil, trezentos e setenta e três.

Por sua vez, a representação simbólica da quantidade setecentos, na base seis, seria 3124(seis) - 3 caixas, 1 dossiê, 2 micas e 4 calendários avulso.

Em síntese, seria interessante os alunos concluírem que para se converter para a base decimal uma representação simbólica de uma quantidade escrita numa base inferior à decimal deve-se usar a operação multiplicação, tendo em conta o número de elementos existentes em cada ordem ou posição. Por sua vez, para se converter uma quantidade, escrita na base decimal, para uma base inferior à decimal, fazem-se divisões sucessivas em que o valor do divisor é sempre o valor da base de destino, parando-se quando o último dividendo for inferior ao valor da base de destino, isto é, ao divisor.

Tendo em conta esta reflexão, como se escreverão na base dois ou binário, ou linguagem dos computadores, as quantidades inteiras compreendidas entre zero e dez?

Nota: a base dois só utiliza dois símbolos: o zero e o um.

publicado por Paulo Afonso às 22:34
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