Segunda-feira, 2 de Novembro de 2009

Operar a multiplicação com vários algoritmos

Um dos algoritmos mais complexos das operações aritméticas elementares é o da operação multiplicação. De facto, uma vez que o nosso sistema de numeração é um sistema de valor posicional, quando a operação implica transporte, isto é, o famoso "e vai um" ou "e vão dois", etc., torna-se difícil, numa primeira abordagem ao algoritmo, perceber o que se está a fazer. De facto, qual o significado da expressão "e vai um"?. Para se perceber o que essa expressão significa tem que se dominar muito bem o conceito de base e o conceito de ordem ou valor posicional dos elementos envolvidos na multiplicação.

Em bom rigor veja-se como deverá ser o esquema figurativo inicial para se perceber, por exemplo, a seguinte multiplicação:

Repare-se que o algoritmo anterior depois simplifica-se com a seguinte conversa: "5 vezes 7 são 35. Fica 5 e vão 3. Cinco vezes cinco são 25, mais três que iam são 28. Fica o 8 e vão 2... e assim sucessivamente. Logo, trata-se de algo complexo, que carece de tempo para que se interiorizem estes procedimentos. Contudo vejam-se outros algoritmos, como seja o algoritmo egípcio, ou o russo ou ou indu-árabe, também designado por gelosia.

No caso do algoritmo egípcio, parte-se da regra de que um número inteiro ou é uma potência de base dois ou pode ser obtido através da adição de várias potências de base dois. Apesar de os antigos egípcios não conhecerem o conceito de potência usavam a ideia de que multiplicar por dois era dobrar o outro número, multiplicar por quatro era dobrar o dobro de dois esse número; multiplicar por oito era dobrar o dobro do dobro de dois esse número e assim sucessivamente.

Logo, por baixo do factor da direita iam usando o que mais tarde se veio a verificar como sendo as potências de base dois. Paravam o algoritmo quando conseguiam obter esse factor a partir de alguns dos valores que colocavam na respectiva coluna. Na coluna afecta ao outro factor iam colocando dobros sucessivos deste factor. Vejamos:

Como se sabe que 16 + 8 + 1 = 25, na outra coluna seleccionam-se os números correspondentes a estas três potências de base 2: o 5712, o 2856 2 o 357, respectivamente. Repare-se que:

5712 + 2856 + 357 = 8925

Em síntese, este algoritmo é bem mais simples do que o que usamos, pois usa só o conceito de dobro do número, as potências de base dois e implica apenas o saber fazer adições.

Já o algoritmo russo também é bastante simples, pois basta apenas encontrar metades sucessivas do 1º factor e dobros sucessivos do 2º factor. Nos casos de se obterem metades de números ímpares despreza-se sempe a parte decimal. Por último identificam-se os números ímpares que estão sob o 1º factor e seleccionam-se, como parcelas a adicionar, os respectivos números que lhe correspondem na coluna do outro factor. Vejamos:

 

Note-se que na coluna da esquerda existem alguns números ímpares: 357, 89, 11, 5 e 1. Por sua vez, os números que, respectivamente, lhes correspondem na coluna da direita são os seguintes: 25, 100, 800, 1600 e 6400.

Ora, adicionando-se estes números da coluna da direita obtém-se o valor pretendido, pois: 25 + 100 + 800 + 1600 + 6400 = 8925.

Já o método Indu-árabe ou de gelosia é muito parecido com o nosso algoritmo, pois esteve na sua base. Vejamos:

Repare-se que a resposta é 8925.

Interprete este último algoritmo, o de gelosia, e comprove que é fácil obter o valor 412650 como sendo o produto de 9825 por 42.

publicado por Paulo Afonso às 01:17
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