Segunda-feira, 11 de Janeiro de 2010

Da magia matemática ao desenvolvimento do pensamento algébrico

Um dos primeiros artigos deste blog foi dedicado à mágica tarefa de se conduzir o nosso interlocutor a um determinado número que nós idealizámos, tudo a partir de um número por ele guardado em segredo. Recordemos o enunciado de então:

 

"1 - Pense num número e não o divulgue.

2 - Adicione-lhe 5 unidades.

3 - Multiplique a soma agora obtida por 2.

4 - Retire 4 unidades ao valor agora obtido.

5 - Encontre metade do valor que agora tem.

6 - Subtraía o valor inicial. Vou descobrir o valor final".

 

Esta tarefa de magia matemática possibilitava que qualquer resolvedor, bem dotado ao nível do cálculo mental, constatasse que no final tinha obtido o valor 3. Teste isto consigo para ver confirmado este valor final!

 

Na altura em que redigi este texto apresentei uma resolução pictórica mas, em termos matemáticos, a sua resolução por etapas é a seguinte:

 

1 - n

2 - n + 5

3 - 2 x (n + 5)

4 - 2 x (n + 5) - 4

5 - [2 x (n + 5) - 4] : 2

6 - [2 x (n + 5) - 4] : 2 - n

Logo: [2 x (n + 5) - 4] : 2 - n = (2n + 10 - 4) : 2 - n = (2n + 6) : 2 - n = n + 3 - n = 3.

 

Como se pode constatar, o valor final 3 é independente do valor inicial (n) mantido em segredo, porque o mesmo acaba por ser anulado ao longo do procedimento algébrico.

 

O que aconteceria se, por exemplo, em vez de se adicionarem 5 unidades se adicionassem 10? Qual a sua estimativa?

 

Certamente que uma das possíveis sugestões seria obter-se no final o valor 6, pois se em vez de 5 se adicionasse 10, que é o dobro deste valor, então no final, em vez de se obter 3, obter-se-ia o seu dobro, que é 6.

 

Vamos testar:                                          

"1 - Pense num número e não o divulgue. 

2 - Adicione-lhe 10 unidades. 

3 - Multiplique a soma agora obtida por 2.

4 - Retire 4 unidades ao valor agora obtido.

5 - Encontre metade do valor que agora tem. 

6 - Subtraía o valor inicial. Quanto obteve?"   

     

Matematicamente, eis a resolução:

1 - n

2 - n + 10

3 - 2 x (n + 10)

4 - 2 x (n + 10) - 4

5 - [2 x (n + 10) - 4] : 2

6 - [2 x (n + 10) - 4] : 2 - n

 Logo: [2 x (n + 10) - 4] : 2 - n = (2n + 20 - 4) : 2 - n = (2n + 16) : 2 - n = n + 8 - n = 8.  

 

Não se confirma, pois, a estimativa do valor 6. Contudo, certamente que já observou que o valor obtido tem uma relação com o valor que se adiciona ao valor inicial, de facto. Qual é essa relação? No fundo, a questão é: podemos saber de imediato o valor final a partir do valor que mandamos adicionar ao valor inicial desconhecido?

 

Claro que sim, pois o valor final é igual ao valor que mandamos adicionar menos duas unidades. De facto, quando da adição de 5 unidades, obteve-se o valor final 3; já quando da adição de 10 unidades, obteve-se o valor 8.  

 

Esta importante conclusão permitirá que consigamos impressionar os nossos amigos em situações de recreação matemática ou de convivialidade. Por exemplo, se perante cinco amigos (A, B, C. D e E) lançarmos este desafio, mandando adicionar, no passo 2, ao amigo A o valor 10, ao amigo B o valor 12, ao amigo C o valor 14, ao amigo D o valor 16 e ao amigo E o valor 18, adivinharemos que no final o A obteve o valor 8, o B o valor 10, o C o valor 12, o D o valor 14 e o E o valor 16. Estes valores serão obtidos, independentemente dos valores inicialmente pensados por cada um deles!

 

Veja-se, agora, o seguinte enunciado:

1 - Pense num número.

2 - Duplique esse número.

3 - Adicione 8 unidades.

4 - Encontre metade do valor agora obtido.

5 - Subtraía o valor inicial.

 

Efectuando os respectivos cálculos, obter-se-á o valor 4.

Que passo do enunciado deve ser alterado para que o resultado seja 5? E 6?

publicado por Paulo Afonso às 00:01
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1 comentário:
De kamillo pereira a 20 de Janeiro de 2010 às 02:06
Adorei esse artigo...Gostei muito do blog. Gostaria que vcs me ajudassem com algumas idéias no meu blog de matemática http://profkamillo.com gostaria muito de algumas dicas se fosse possível Obrigado!!!!!!!!

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