Segunda-feira, 18 de Janeiro de 2010

Investigações matemáticas - conexões a outras áreas

O tema das investigações matemáticas tem vindo a ser desenvolvido com alguma frequência no seio deste blog. Desta vez vou associá-lo à área do futebol, pois trata-se de uma área que abrange muitos entusiastas. 

 

Ora, sabendo-se que investigar em matemática deveria ser semelhante a investigar em qualquer outra área, mais ou menos científica, vamos vestir a pele de detectives matemáticos e estudar em profundidade o desenrolar de um marcador de um jogo de futebol cujo resultado final tenha sido 3 a 3.

 

Imagine que a sua equipa empatou com o grande rival a 3 bolas. Tendo começado a ouvir o relato que iniciou com um golo madrugador do seu clube e tendo ouvido, depois, apenas o resultado final (3-3), questionou-se a si próprio como poderia ter sido o desenrolar do marcador. Nessas seis vezes em que o marcador sofreu alteração, quantas delas tiveram o seu clube à frente? Será que esteve sempre à frente e se deixou empatar ao fim? Será que tendo começado a ganhar, logo passou a perder, tendo empatado somente ao fim? São estas, pois, as questões que orientarão a nossa investigação.

 

Comecemos por colocar o nosso clube o máximo de vezes à frente do marcador, isto é, 5 vezes. Quantos serão os casos possíveis? A tabela seguinte ajuda a esclarecer:

 

Caso A Caso B
Nossa Equipa Equipa Rival Nossa Equipa Equipa Rival
1 0 1 0
2 0 2 0
3 0 2 1
3 1 3 1
3 2 3 2
3 3 3 3

 

Vejamos agora os casos em que a nossa equipa poderia ter estado à frente do marcador em 4 vezes:

 

Caso C Caso D
Nossa Equipa Equipa Rival Nossa Equipa Equipa Rival
1 0 1 0
2 0 1 1
2 1 2 1
2 2 3 1
3 2 3 2
3 3 3 3

 

Já o número de casos em que a nossa equipa poderia ter estava à frente do marcador em 3 vezes, curiosamente também é dois. Vejamos a tabela:

 

Caso E Caso F
Nossa Equipa Equipa Rival Nosssa Equipa Equipa Rival
1 0 1 0
2 0 1 1
2 1 2 1
2 2 2 2
2 3 3 2
3 3 3 3

 

 

Curiosamente, voltam a ser dois os casos em que a nossa equipa poderia ter estado à frente do marcador por 2 vezes:

 

Caso G Caso H
Nossa Equipa Equipa Rival Nossa Equipa Equipa Rival
1 0 1 0
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 2 2
2 3 3 2
3 3 3 3

 

 

Finalmente, a possibilidade de a nossa equipa ter estado na frente do marcador por uma única vez também poderia ter ocorrido em dois casos:

 

Caso I Caso J
Nossa Equipa Equipa Rival Nossa Equipa Equipa Rival
1 0 1 0
1 1 1 1
1 2 1 2
1 3 2 2
2 3 2 3
3 3 3 3

 

 

São, pois, estes os 10 casos que poderiam ter ocorrido perante este resultado final e tendo sido a nossa equipa a inaugurar o marcador. Haverá outros?

 

Seria interessante reflectir, agora, acerca de qual dos dez possíveis cenários seria o que daria mais emoção ao jogo. Claro que os momentos do jogo em que os golos foram marcados também contribuiria, decisivamente, para a componente da emoção, mas talvez os casos G ou I fossem os cenários mais emocionantes!

 

Imagine-se que a investigação era orientada noutro sentido, isto é, ver os casos em que a nossa equipa esteve menos vezes na frente do marcador, apesar de ter sido ela a inaugurá-lo. Qual seria o estudo a fazer-se?

publicado por Paulo Afonso às 00:02
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