Segunda-feira, 1 de Fevereiro de 2010

Dos problemas aos conceitos matemáticos - um caso de múltiplos e de divisibilidade

Muitos são os documentos de orientação metodológica para o ensino-aprendizagem da Matemática da actualidade que preconizam a ideia de que a resolução de problemas deve ser um dos mais importantes cenários metodológicos para que os alunos sejam capazes de construir o seu edifício matemático. A máxima "dos problemas aos conceitos" tem vindo, pois, a ser bastante veiculada no seio dos educadores matemáticos, pois através de situações desafiantes os alunos poderão aprender novos conceitos matemáticos ou revisitar, consolidando, os conceitos que já conhece.

 

O exemplo que escolhi para ilustar esta ideia retirei-o de um interessante livro de Margaret Edminston*, intitulado "Quebra-cabeças sobre Matemática". Eis o enunciado:

 

"Todas as manhãs, uma fazendeira recolhe os ovos que as suas galinhas puseram. Um dia, tropeçou à saída da capoeira e todos os ovos se partiram.

- Quantos ovos trazias? - perguntou-lhe a filha.

- Não sei - disse a mulher -, mas lembro-me de que quando dividi o número de ovos por 2, sobrou um ovo, quando dividi o número por 3 não sobrou nenhum, e quando dividi por 5 sobraram três ovos.

A mulher trazia mais de quatro ovos e menos de quarenta. Quantos ovos se partiram?" (Edminston, 2001, p. 40).

 

* - Edminston, M. (2001). Quebra-cabeças sobre Matemática. Lisboa: Replicação.

 

Este problema pode ser solucionado sem que o respectivo resolvedor possua elevados conhecimentos matemáticos. Contudo, ao nível da sala de aula de matemática seria interessante que os alunos o associassem ao tema dos múltiplos de um número, bem como aos critérios de divisibilidade por 2, por 3 e por 5.

 

Interessante também seria se os alunos tecessem um raciocínio mais ou menos semelhante ao que apresento a seguir. Por um lado deduz-se que a fazendeira tinha obrigatoriamente de trazer um número ímpar de ovos, porque só assim poderia ter ficado com um ao dividir o número de ovos que tinha por 2. Por outro lado, o número de ovos que tinha era um múltiplo de 3, porque ao dividir esse número de ovos por este valor, não lhe restava qualquer ovo. Por fim, o número de ovos tem de ser um valor que ao dividir por 5 dê resto três.

 

Destas constatações infere-se uma regra que matematiza a situação em causa. A regra é esta: 5n + 3, pois evidencia um valor múltiplo de 5, mais 3 unidades, colocando-se a condição de "n" ser um número par, para que o valor final seja ímpar.

 

Como é referido no enunciado que o número de ovos está compreendido entre 4 e 40, o "n" nunca pode assumir o valor 8 ou superior, pois no caso de ser 8, já se excediam os 40 ovos.

 

Sendo assim, o "n" só poderá assumir os valores 2, 4 ou 6. Logo, o total de ovos poderá ser:

 

5 x 2 + 3 = 13 ou 5 x 4 + 3 = 23 ou 5 x 6 + 3 = 33. Contudo, como é dito no enunciado que o número de ovos tem de ser um múltiplo de 3, o valor a seleccionar é o 33.

 

Confirmando, 33 a divir por 2 dá resto 1; é múltiplo de 3, logo a divisão por 3 dá resto zero; e ao dividir por 5 dá resto 3.

 

Faça um raciocínio análogo para o seguinte enunciado:

 

"Tenho na minha posse três números inteiros, sendo cada um deles inferior a 10 unidades. Além disto, multiplicando os de menor valor, o produto obtido coincide com o número de maior valor. Sabe-se também que a soma dos três números é um número primo. Quais os três números em causa?"

Que outros enunciados semelhantes a estes conhece?

publicado por Paulo Afonso às 00:22
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