Segunda-feira, 15 de Fevereiro de 2010

Figuras mágicas e tarefas de investigação matemática

O tema das figuras mágicas já foi por diversas vezes objecto de reflexão neste blog. Contudo, como o mesmo suscita a possibilidade de haver diversificadas explorações, desta vez associá-lo-ei a tarefas de investigação.

 

O objectivo é o de se substituir cada uma das letras da figura seguinte por um número diferente, de 1 a 9, inclusive, de modo a que a soma proveniente de "a + b + c + d + e" seja igual à soma proveniente de "e + f + g + h + i". Como proceder? Haverá mais do que uma solução?

 

 

 

 

Em termos de recreação matemática, esta tarefa poderia ser resolvida através da estratégia da tentativa e erro. Contudo, como tarefa de investigação, e ao nível da sala de aula, seria desejável que a mesma levasse os alunos a um raciocínio mais estruturado.

 

Ora vejamos, o que é solicitado é o seguinte: a + b + c + d + e = e + f + g + h  + i. Haverá, pois, um número que se irá repetir, uma vez que aparece em ambas as adições.

 

Sabe-se, por outro lado, que se não houvesse repetição dessa parcela, a soma dos nove números seria: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Dado que haverá um valor a repetir-se, e não se sabendo qual, há que se investigar todas as possibilidades. Assim, a tabela seguinte visa sistematizar o caso de o valor a repetir ser o 1:

 

Valor a repetir Soma final Somas parcelares
1 46

9 + 8 + 3 + 2 + 1 = 23

7 + 6 + 5 + 4 + 1 = 23

 

9 + 7 + 4 + 2 + 1 = 23

8 + 6 + 5 + 3 + 1 = 23

 

9 + 6 + 5 + 2 + 1 = 23

8 + 7 + 4 + 3 + 1 = 23

 

9 + 6 + 4 + 3 + 1 = 23

8 + 7 + 5 + 2 + 1 = 23

 

Resultante deste trabalho de sistematização, conclui-se que poderão haver quatro casos em que o valor a repetir é o 1:

 

 

Estudemos, de seguida, o caso de o valor a repetir-se ser o 2. A soma final seria 47. Como se trata de um valor ímpar, não possibilita a divisão em duas somas parcelares de igual valor inteiro. Logo, conclui-se que o valor 2 não poderá ocupar o espaço da letra "e".

 

Passemos, pois, para o valor 3. Tal como para o caso do valor 1, a tabela seguinte sistematiza o estudo deste novo caso:

 

Valor a repetir Soma final Somas parcelares
3 48

9 + 7 + 3 + 4 + 1 = 24

8 + 6 + 5 + 2 + 3 = 24

 

9 + 6 + 3 + 5 + 1 = 24

8 + 7 + 4 + 2 + 3 = 24

 

9 + 6 + 3 + 4 + 2 = 24

8 + 7 + 5 + 1 + 3 = 24

 

 

Eis os três casos possíveis, em que o valor a repetir é o 3:

 

 

 

Para o caso do valor a repetir-se ser o 4, a soma total seria 49, pelo que ao ser um número ímpar, também não permitiria a obtenção de duas somas parcelares de igual valor numérico inteiro. Logo, conclui-se que o espaço ocupado pela letra "e" também não poderia ser utilizado pelo valor 4.

 

Já para o valor 5, se fosse este a repetir-se, a soma final seria 50. Vejamos a tabela correspondente ao estudo deste novo caso:

 

Valor a repetir Soma final Somas parcelares
5 50

9 + 8 + 5 + 2 + 1 = 25

7 + 6 + 4 + 3 + 5 = 25

 

9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25

8 + 6 + 4 + 2 + 5 = 25

 

9 + 6 + 5 + 3 + 2 = 25

8 + 7 + 4 + 1 + 5 = 25

 

 

Eis os três casos possíveis:

 

 

 

Já evidenciei, pois, 10 casos de sucesso para esta tarefa de investigação. Haverá mais para os casos de serem o valor 7 ou o valor 9 a repetir-se? Tente fazer um estudo semelhante aos acabados de fazer para os casos dos valores 1, 3 e 5.

 

Imaginemos agora um novo desafio, que consiste em investigar se é possível que a soma resultante de "a + b + c + d + e" seja o dobro da soma resultante de "e + f + g + h + i". Quantos casos de sucesso haverá?

 

Ora, este novo desafio obriga a que tenhamos em conta todas as somas finais possíveis de obter em função do valor que se vai repetir.

 

Valor a repetir Soma final
1 46
2 47
3 48
4 49
5 50
6 51
7 52
8 53
9 54

 

 

De seguida importa ver quais as somas finais que são multiplas do 3. Há três casos: 48, 51 e 54. Logo, os valores a repetir-se podem ser, respectivamente, o 3, o 6 e o 9.

 

Estudemos, a título de exemplo, o valor 3. A soma final que lhe corresponde é 48, pelo que permite três grupos de valor 16. Juntando dois deles fica-se com um valor que é duplo do terceiro (32 e 16).

 

Vejamos a tabela respectiva:

 

Valor a repetir Soma final Somas parcelares
3 48

9 + 8 + 3 + 7 + 5 = 32

6 + 4 + 2 + 1 + 3 = 16

 

Eis a figura respectiva:

Faça um estudo semelhante para as restantes somas, isto é, para a soma 51 e para a soma 54, associadas, respectivamente, à duplicação do 6 e do 9.

 

publicado por Paulo Afonso às 00:58
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