Segunda-feira, 8 de Março de 2010

Investigações matemáticas envolvendo cartas

O tema das investigações matemáticas tem servido de base ou contexto para a exploração de muitos assuntos neste blog. Desta vez o mesmo vai ser utilizado com recurso a um normal baralho de cartas.

 

Imagine que pretende efectuar uma moldura para uma fotografia, tendo aquela a particularidade de ser formada por todas as cartas numéricas, de um só naipe, de um normal baralho de cartas, isto é, do 1 (ás) ao 10. A disposição das dez cartas deve obedecer ao esquema seguinte, sendo que cada lado da moldura deve originar sempre a mesma soma. Como proceder?

 

 

A título de exemplo, e com base em múltiplas experimentações, poderia ocorrer a seguinte resposta:

 

 

Observando a moldura, confirma-se que existe sempre uma mesma soma para cada um dos quatro lados, usando todos, e apenas uma vez, os dez números disponíveis. Refiro-me ao valor 18.  

 

De facto, 2 + 10 + 6 = 18; 6 + 7 + 4 + 1 = 18; 1 + 9 + 8 = 18; 8 + 5 + 3 + 2 = 18. 

 

Em situação de sala de aula seria interessante analisar-se esta moldura e perceber a razão de ela ter sido um caso de sucesso.

 

Em primeiro lugar, e tendo como referência o esquema seguinte, ter-se-á de concluir que a soma das três cartas de cima (A) é igual à soma das três cartas de baixo (C). Por outro lado, as quatro cartas sobrantes, duas pertencentes ao lado B e as outras duas pertencentes ao lado D têm de originar um valor que adicionado aos valores das seis cartas dos lados A e C dê a soma das dez cartas, que é 55:

 

Tendo em conta estas premissas, a soma dos valores das quatro cartas afectas a B e D terá de ser tal que ao subtrair ao total 55 dê um resto par, para que este possa originar dois valores iguais, sendo um para o A e outro para o C. Eis os doze casos possíveis:

 

a) 55 - 11 = 44 --- (22 + 22)

b) 55 - 13 = 42 --- (21 + 21)

c) 55 - 15 = 40 --- (20 + 20)

d) 55 - 17 = 38 --- (19 + 19)

e) 55 - 19 = 36 --- (18 + 18)

f) 55 - 21 = 34 --- (17 + 17)

g) 55 - 23 = 32 --- (16 + 16)

h) 55 - 25 = 30 --- (15 + 15)

i) 55 - 27 = 28 --- (14 + 14)

j) 55 - 29 = 26 --- (13 + 13)

k) 55 - 31 = 24 --- (12 + 12)

l) 55 - 33 = 22 --- (11 + 11)

 

De facto, a negrito (alínea e) está o caso ilustrado acima. Contudo, para a soma 18 + 18 haverá só aquele caso?  

 

 

Vamos investigar como é que quatro números diferentes podem originar a soma 19. Uma delas é a que esteve na base do caso de sucesso ilustrado acima: 7 + 5 + 4 + 3 = 19.

 

Eis outras 12 possibilidades:

 

a) 10 + 6 + 2 + 1

b) 10 + 5 + 3 + 1

c) 10 + 4 + 3 + 2

d) 9 + 7 + 2 + 1

e) 9 + 6 + 3 + 1

f) 9 + 5 + 4 + 1

g) 9 + 5 + 3 + 2

h) 8 + 7 + 3 + 1

i) 8 + 6 + 4 + 1

j) 8 + 6 + 3 + 2

k) 8 + 5 + 4 + 2

l) 7 + 6 + 5 + 1

m) 7 + 6 + 4 + 2

 

Resta agora cruzar cada um destes doze casos com a soma de A com C, isto é com 18 + 18, para um total de 36:

 

a) 10 + 6 + 2 + 1 A = 9 + 5 + 4 C = 8 + 7 + 3
b) 10 + 5 + 3 + 1 A = 9 + 7 + 2 C = 8 + 6 + 4
c) 10 + 4 + 3 + 2 A = 9 + 8 + 1 C = 7 + 6 + 5
d) 9 + 7 + 2 + 1 A = 10 + 5 + 3 C = 8 + 6 + 4
e) 9 + 6 + 3 + 1 X X
f) 9 + 5 + 4 + 1 A = 10 + 6 + 2 C = 8 + 7 + 3
g) 9 + 5 + 3 + 2 A = 10 + 7 + 1 C = 8 + 6 + 4
h) 8 + 7 + 3 + 1 A = 10 + 6 + 2 C = 9 + 5 + 4
i) 8 + 6 + 4 + 1 A = 9 + 7 + 2 C = 10 + 5 + 3
 j) 8 + 6 + 3 + 2  X  X
 k) 8 + 5 + 4 + 2 A = 10 + 7 + 1  C = 9 + 6 + 3 
 l) 7 + 6 + 5 + 1  X
 m) 7 + 6 + 4 + 2 A = 10 + 5 + 3  C =  9 + 8 + 1

 

Analisando-se exaustivamente cada caso, apenas o da alínea h resulta numa moldura mágica, com soma 18 em cada lado. Vejamos:

 

 

O que resultará se a investigação incidir numa moldura mágica de soma 19? Haverá muitos casos de sucesso?

 

Apresento duas possíveis soluções:

 

Solução A:

 

Solução B:

 

Haverá mais algum caso de sucesso para esta soma mágica de 19? Como será a sua investigação? 

publicado por Paulo Afonso às 00:18
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