Quarta-feira, 1 de Setembro de 2010

Sudoku e comunicação matemática

Desenvolver a capacidade de comunicar ideias e raciocínios matemáticos é um dos principais objectivos que a Escola visa atingir com os seus alunos. Levá-los a explicar oralmente e/ou por escrito as suas tomadas de posição é uma ajuda preciosa para que o professor possa perceber "por onde o aluno andou". Percebendo isso, mais facilmente o poderá orientar no caso de haver necessidade de refazer algum procedimento de cálculo ou de outra natureza.

 

Em termos de metodologia de trabalho, está sobejamente investigado que o aluno fica especialmente motivado para a Matemática quando está envolvido em contexto de jogo. Ora, o jogo do Sudoku, recentemente explorado nos mais variados meios de recreação matemática, pode ser entendido como sendo um potencial dínamo para o desenvolvimento da comunicação matemática dos seus resolvedores. Digo isto, porque a colocação de um novo número nas lacunas que há que preencher obedece a raciocínios logicamente encadeados, por forma a que não haja repetição de números onde isso não é possível ocorrer.

 

Nestas merecidas férias cruzei-me com um interessante livro de Gareth Moore, intitulado "Entrena Mentes en cualquier Momento del Dia"*, em que a primeira actividade solicitava que se preenchesse o seguinte "mini" Soduku:

  

 

* - Moore, G. (2009). Entrena Mentes en cualquier Momento del Día. Madrid: Ediciones SM.

 

Note-se que este Sudoku é diferente dos que usualmente costumamos encontrar em livros da especialidade ou nas usuais propostas de actividade de recreação matemática em revistas ou jornais, uma vez que só utiliza os seis primeiros números naturais (1, 2, 3, 4, 5 e 6).

 

Contudo, o seu preenchimento obedece à tradicionais regras do Sudoku dos nove números, pois em cada linha horizontal ou vertical têm que constar todos e apenas uma vez esses seis números e em cada um dos seis rectângulos formados por seis quadrículas também têm de constar esses seis números e apenas uma vez.

 

O principal objectivo de eu escrever este primeiro artigo deste novo ano lectivo de 2010/2011 prede-se não somente com o desafio de se preencherem os espaços em branco, mas, principalmente, em explicitar por escrito todo o raciocínio empregue na sua resolução.

 

Assim, uma primeira dificuldade é explicar o começo da resolução. Uma possibilidade é evidenciada na imagem seguinte:

 

 

Note-se que o conjunto de números formado pelos elementos 1, 2, 5 e 6 do cimo e meio da figura ainda carecia dos números 3 e 4. Contudo, o 3 não poderia ser colocado ao lado do 6, uma vez que essa linha horizontal da contemplava o 3. Logo, o 3 só poderia ser colocado à esquerda do 1 e por baixo do 5. Sendo assim, ao lado do 6 teria de ficar o 4:

 

 

Pela mesma ordem de ideias, o mesmo conjunto de números (1, 2, 5 e 6) do meio da figura me baixo só pode ter o 4 junto do 6, porque o 3 já consta dessa última linha horizontal:

 

 

A colocação deste 4 obriga a que o 3 fique à direita do 1 e por cima do 5:

 

 

Estão, pois, preenchidas as duas primeiras colunas. Note-se agora que na célula que resulta do cruzamento entre a segunda linha e segunda coluna já não poderá ser colocado o 2, o 3, o 4, o 5 ou o 6. Logo só poderá ser colocado aí o número 1:

 

 

O raciocínio anterior é válido para a célula que resulta do cruzamento entre a penúltima linha e a penúltima coluna. Logo, aí também já só poderá ser colocado o número 1:

 

  

Note-se que no conjunto das seis quadrículas do canto superior direito da figura ainda falta o número 1. Veja-se que ele já não pode ficar nem na 2ª nem na 3ª linha, pelo que lhe fica reservado o espaço correspondente à última quadrícula da 1ª linha:

  

  

Centremos agora a atenção no primeiro rectângulo das seis quadrículas. Aí já constam os números 1 e 3, faltando, pois, os números 2, 4, 5 e 6. Relativamente ao número 2 ele já existe na 1ª e na 2ª linha, o que implica que será na terceira linha que ele deverá ser colocado. Ora, como estas seis quadrículas já impedem que o 2 seja colocado por baixo do 1, logo só resta a possibilidade de ele ser colocado no início da terceira linha horizontal:

 

 

Veja-se, agora, que o número 6 já existe na primeira linha e na segunda. Logo, relativamente ao conjunto dos seis números do canto superior esquerdo da figura o 6 terá de ficar à direita do 2 e por baixo do 1:

 

 

 Veja-se que à segunda coluna só falta o número 5:

 

 

Preencheu-se, pois, mais uma coluna. Centremo-nos agora novamente nos números do canto superior direito da figura, isto é, no 1, 2 e 6. Pelo facto de o 3 já existir na coluna do 6, na 1ª linha e na 3ª linha, implica que neste ponto da figura terá de ficar posicionado à direita do 6, por baixo do 1:

 

 

É fácil de constatar que na segunda linha horizontal da figura já só falta o número 4:

 

 

Fica, pois, preenchida a segunda linha horizontal! Repare-se, agora que a célula do canto inferior direito já só pode ser ocupada pelo valor 5, pois este número já consta na antepenúltima e penúltima linhas:

 

 

Ficou então completada a última linha horizontal. Por sua vez, no início da penúltima linha horizontal só pode usado o valor 3, porque na respectiva linha superior e linha inferior esse número já existe:

 

 

 

Como consequência, à 1ª coluna só falta o valor 6:

 

 

 

Fica, pois, completa a 1ª coluna. Note-se, agora que nas seis quadrículas do canto inferior direito da figura existem os seguintes números: 1, 3, 5. Faltando o 2, este já não pode ser colocado por cimo do 5 porque essa linha já tem o 2, nem por cima do 1, porque essa coluna também já tem o 2. Logo, resta a posição seguinte:

 

 

Logo, nessa linha falta apenas o 4:

 

 

Completada que está mais esta linha horizontal, falta à penúltima coluna apenas o valor 5:

 

 

Faltam apenas dois números para que o Sudoku fique completo! Entre o 2 e 5 só pode ficar o valor 6:

 

 

Por fim, falta colocar o valor 4:

 

 

Fazendo-se a verificação constata-se que em nenhuma linha horizontal ou vertical se repete qualquer dos seis números. Além disto, por cada conjunto de seis números, formando uma figura rectangular, também não há repetição de qualquer um deles.

 

Utilize o mesmo tipo de procedimento comunicativo para preencher correctamente o seguinte Sudoku, extraído do livro "O jogo mágico dos números Sudoku", da autoria de Michael Mepham.**:

 

 

 

** - Mepham, M. (2005). O jogo mágico dos números - Sudoku. Lisboa: Sábado.

 

Como se sabe, para cada linha, cada coluna e para cada conjunto de 3 x 3 quadrículas devem constar todos, e apenas uma vez, os primeiros nove números naturais. Explique o raciocínio utilizado.

publicado por Paulo Afonso às 14:28
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2 comentários:
De Clebson Gustavo. a 2 de Novembro de 2010 às 20:07
Há um pequeno erro nesse Sudoku.
Observe o primeiro quadrado de ordem 3, na parte superior esquerda. Lá existem dois números 4.

Abraços professor!!!
De Paulo Afonso a 18 de Junho de 2011 às 11:51
Tem razão Clebson! Retire-se, então esse nº 4 do canto inferior direito do cruzamento da terceira linha com a terceira coluna. Obrigado pela correcção!

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