Quinta-feira, 7 de Outubro de 2010

Pontes geométricas - conexão aos números triangulares

Atravessar um rio dispondo apenas de uma pequena barcaça costuma estar associado a vários desafios de recreação matemática. De facto, uma rápida pesquisa na Internet, sobre (a) o pastor, o lobo, a ovelha e a couve, (b) o pastor, o gato, o canário e o saco de alpista, ou (c) os canibais e os missionários, entre outros, permite constar que são apenas alguns dos desafios de travessia de um rio que existem. Por norma exigem uma apurado raciocínio e a escolha de uma boa estratégia de resloução, como seja o esquema ou figura.

 

Contudo, a minha reflexão não irá incidir nesse tipo de modo de atravessar um rio, pois em vez de uma barcaça pretende-se atravessá-lo a pé através de pontes flutuantes, formadas exclusivamente por objectos geométricos.

 

Veja-se a ponte seguinte e tente atravessar para a margem direita do rio seguindo a seguinte regra: só se pode deslocar para baixo, sempre no sentido esquerda, direita. Quantas são as possibilidades que existem?

 

Numa perspectiva de resolução sistematizada, seria interessante atribuir a cada círculo uma referência, como seja um número ou uma letra:

 

De seguida poder-se-á fazer uma lista organizada, evidenciando todas as possibilidades que existem:

 

A-E-I

B-F-J

C-G-K

 

A-E-F-J

B-F-G-K

 

A-E-F-G-K

 

Existem, pois, 3 + 2 + 1 possibilidades, isto é, 6 possibilidades diferentes de atravessar esta ponte, de acordo com as regras estipuladas.

  

Imaginemos, agora, que se aumentava um novo objecto em cada uma das margens, bem como na coluna central, como ilustra a figura seguinte:

  

 

Mantendo as condições ou regras do enunciado anterior, quantas serão, agora, as possibilidades da travessia do rio?

  

Eis novamente a figura referenciada em cada um dos objectos geométricos:

  

  

Vejamos as possibilidades:

  

A-F-K

B-G-L

C-H-M

D-I-N

  

A-F-G-L

B-G-H-M

C-H-I-N

  

A-F-G-H-M

B-G-H-I-N

  

A-F-G-H-I-N

  

Note-se que as possibilidades passaram a ser 4 + 3 + 2 + 1 = 10.

  

Continuando a aumentar um objecto geométrico em cada margem e na coluna central, eis como fica a figura:

 

Atribuindo as respectivas marcas:

 

Vejamos a análise:

 

A-G-M

B-H-N

C-I-O

D-J-P

E-K-Q

 

A-G-H-N

B-H-I-O

C-I-J-P

D-J-K-Q

 

A-G-H-I-O

B-H-I-J-P

C-I-J-K-Q

 

A-G-H-I-J-P

B-H-I-J-K-P

 

A-G-H-I-J-K-Q

 

Verificam-se, pois, 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 possibilidades.

 

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos fossem solicitados a identificar ou descobrir a regularidade numérica que suporta este conjunto de tarefas. Seria desejável que estabelecessem a seguinte relação: 6 + 4 = 10 e 10 + 5 = 15, no sentido de proporem a seguinte solução que seria 15 + 6 = 21 possibilidades de atravessar o rio na condição de se aumentar mais um objecto geométrico em cada margem e na coluna do meio.

 

Além disto, também seria desejável conectar esta regularidade ou padrão numérico ao tema dos números figurados, designadamente os números triangulares. De facto, como já tive oportunidade de reflectir em artigos anteriores, a sequência de números triangulares (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,...) é gerada pelo seguinte algoritmo (n2 + n) : 2, sendo "n" um número natural.

 

Sendo assim, poder-se-á reflectir acerca de como será a disposição dos objectos geométricos nas margens e na coluna centraldo rio, de modo a que o número de possibilidades de o atravessar coincida com o 10º número triangular. Qual a sua sugestão?

publicado por Paulo Afonso às 01:00
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1 comentário:
De Clebson Gustavo. a 2 de Novembro de 2010 às 16:03
Muito legal esse!
Teremos nas três colunas um número de círculos respectivamente 11,10,11.
Pois começando no primeiro círculo (A) teremos 10 possibilidades, no segundo (B) 9 e assim por diante.

Sn=[(a1+an)n]/2
S10=[(10+1)10]/2 = 55 possibilidades

O que coincide com o 10 número triangular:

(n²+n)/2=
(10²+10)/2 = 55

Abraços...

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