Quarta-feira, 1 de Dezembro de 2010

Cubos mágicos

Sendo o tema das figuras mágicas muito apropriado para o desenvolvimento de actividades de recreação matemática, desta vez vou incidir a minha reflexão não em figuras planas mas, sim, numa tridimensional - o cubo. Sobre este sólido geométrico muitas considerações de natureza matemática e histórica poderiam ser feitas. Desde logo por ser um importante sólido platónico, mas também por possibilitar um estudo de natureza investigativa muito interessante acerca das suas possíveis planificações. De facto, investigar quantos são os hexaminós susceptíveis de originar um cubo é uma tarefa que deve ser implementada não só em termos de recreação matemática, mas também num contexto de matemática mais formal e em sala de aula.

  

Centremo-nos, então, no cubo como podendo ser uma figura sólida mágica. O desafio a desenvolver é o seguinte. Colocar, todos e apenas uma vez, os oito primeiros números naturais nos vértices do cubo, por forma a que a soma dos quatro números existentes em cada face seja sempre a mesma.

  

Uma possível solução é a seguinte:

 

 

 

Note-se que em cada uma das seis faces do cubo, a soma dos números aí existentes é sempre 18:

 

a - 6 + 3 + 8 + 1 = 18

b - 1 + 8 + 2 + 7 = 18

c - 2 + 7 + 4 + 5 = 18

d - 4 + 5 + 3 + 6 = 18

 

Esta tarefa, podendo ser resolvida através da estratégia da tentativa e erro, deveria ser utilizada em contexto de sala de aula para o desenvolvimento do sentido do número e como exemplo ilustrativo de como a matemática permite muitas conexões entre a componente geométrica e a a numérica.

 

Seria muito interessante que os resolvedores se apercebessem que o total dos oito números envolvidos nesta tarefa originam uma soma 36:

 

 

Logo, trata-se de um valor que deve ser dividido em duas partes iguais, uma vez que as duas faces opostas terão de originar a mesma soma numérica. Estamos a falar do valor 18. Por sua vez, este valor terá de ser obtido pela adição de quatro parcelas diferentes. Contudo, como cada par de números assentes em dois vértices adjacentes faz parte, ao mesmo tempo, de duas faces adjacentes, implica que a sua soma seja 9. Ora este conjunto de oito números permite que isso aconteça:

 

 

Assim, sendo, a estratégia de tentativa e erro deverá ser substituída por este tipo de raciocínio mais estruturado. Note-se que duas das quatro arestas de cada face do cubo anterior contêm um par de números cuja soma é sempre 9.

 

O desafio seguinte é fazer-se um estudo semelhante para o caso de os oito números envolvidos na tarefa serem do dois ao nove, inclusive. Como fazer?

 

Uma estimativa interessante será a de substituir de forma directa e imediata cada valor do cubo anterior pelo seu consecutivo. Vejamos como fica a imagem do cubo:

 

 

Note-se que se passou a obter uma nova soma mágica, de valor 22 e cada par de números afecto a duas das quatro arestas de face do cubo passou a somar 11.

 

Qual será a nova soma mágica que os oitos números consecutivos iniciarem agora no valor 3?

 

Utilizando o procediemento heurístico anterior, a nova soma tem o valor 26, havendo em duas das quatro arestas de cada face do cubo dois números cuja soma é 13:

 

 

Note-se que da 1ª para a 2ª figura, a soma passou de 18 para 22 e da 2ª para a 3ª passou de 22 para 26. Isto significa que por cada figura que se inicie terá sempre uma soma mágica que será igual à soma mágica anterior acrescida de quatro unidades. Ora se tivermos em linha de conta os oito números envolvidos em cada figura, como os poderemos relacionar com a respectiva soma mágica obtida?

 

Esta questão permite algumas explorações matemáticas interessantes. Uma delas pode ser a seguinte: a soma mágica que se obtém resulta sempre do dobro da soma dos dois valores extremos:

 

1ª -  18 = 2 x (1 + 8)

2ª - 22 = 2 x (2 + 9)

3ª - 26 = 2 x (3 + 10)

 

Por outro lado poderemos associar a soma obtida ao menor dos oito números utilizados. Vejamos:

 

Menor Valor Soma Mágica Obtida:

1

2

3

18

22 = 18 + 1 x 4

26 = 18 + 2 x 4

 

Logo, para qualquer valor inicial "n", a soma mágica "s" obtida será sempre originada pelo seguinte algoritmo:

 

s = 18 + (n - 1) x 4

 

Tendo em conta esta lei geral, qual será a soma mágica de um cubo mágico que contemple oito números naturais consecutivos, iniciados pelo valor 15?

 

publicado por Paulo Afonso às 20:00
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1 comentário:
De Cursinho Pré Vestibular Campinas a 8 de Maio de 2011 às 14:42
Lendo seus posts estou tendo muitas idéias e aprendendo também ! Parabéns mais uma vez!

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