Sábado, 19 de Março de 2011

Pentágonos em relação algébrica

Conectar figuras geométricas a actividades que promovam o pensamento algébrico pode servir de contexto para se estabelecerem relações entre a Matemática Recreativa e a Matemática dita mais formal. O exemplo que trago para se reflectir sobre este tema baseia-se em pentágonos não regulares.

 

Uma primeira tarefa passa por se compararem as seguintes figuras, no sentido de se identificarem aspectos comuns a ambas:

 

Uma primeira apreciação não pode deixar de salientar o tipo de figuras que está em causa. Trata-se de dois pentágonos irregulares. Além disto, poder-se-á descrever a forma como cada figura é constituída. A este nível poder-se-á referir o seguinte:

 

a) o lado de cima a figura da esquerda tem dois elementos e o da direita tem mais um;

b) nos lados adjacentes ao lado acabado de analisar, em ambas as figuras contabilizam-se três elementos em cada um destes lados;

c) nos dois restantes lados de cada figura constata-se que os da figura da esquerda têm quatro elementos e os da figura da direita têm mais um elemento cada.

 

Em termos de número de elementos que compõem cada figura, a da esquerda é formada por uma fronteira composta por 11 elementos e com um interior formado por 4 elementos. Isto perfaz um total de 15 elementos. Já a figura da direita possui uma fronteira com 14 elementos e um interior com 8 elementos. No total há, pois, 22 elementos.

 

Face a esta análise, será possível prever a constituição da próxima figura, que dê continuidade a estas duas? Como será ela formada?

 

O que poderá ser legítimo que se diga em relação à próxima figura é que o lado de topo terá 4 elementos, pois será sempre mais um do que o mesmo lado da figura anterior. Relativamente aos dois lados que se unem a este, ambos voltarão a ser formados por três elementos cada, à semelhança das duas figuras já analisadas. Por último, os restantes dois lados da nova figura serão formados por 6 elementos cada um, pois terão de ter mais um elemento do que os respectivos lados da figura anterior.

 

Relativamente à composição da fronteira e do interior da nova figura, será um pouco mais difícil de prever, pois só temos dois exemplos analisados, o que pode ser manifestamente pouco para que se proponha, de imediato, uma boa conjectura. Contudo, penso que seria desejável que, em contexto de sala de aula, os alunos avançassem com um raciocínio do seguinte tipo: "ora se da fronteira da primeira figura se passou de 11 elementos para 14 da segunda, então se calhar continuará a haver um aumento de 3 unidades, o que leva a que a próxima figura tenha 17 elementos na fronteira". Relativamente ao interior, e fazendo-se um raciocínio semelhante ao acabado de expor, "haverá 12 elementos, porque aumentará o seu número em 4 unidades relativamente ao interior da figura anterior. Se assim for, a nova figura terá um total de 29 elementos".

 

Vejamos a figura no sentido de se testarem todas estas previsões:

 

Relativamente à figura anterior, confirma-se que:

a) o lado de topo é formado por 4 elementos;

b) cada lado unido a este é formado por 3 elementos;

c) cada um dos restantes dois lados do pentágono é formado por 6 elementos.

 

Analisemos, agora a composição da fronteira e do interior da figura:

a) fronteira formada por 17 elementos;

b) interior formado por 13 elementos;

c) a figura possui um total de 30 elementos.

 

Conclusão:

- das seis conjecturas formuladas, não se confirmam apenas duas; o número de elementos do interior da figura e o respectivo número total de elementos. De facto não são 12 os elementos do seu interior, mas, sim, 13; perfazendo um total de 30 elementos e não de 29 como previsto.

 

Um desafio interessante a fazer-se agora seria o de se tentar perceber a lei de crescimento e formação deste tipo de figuras, tendo em conta apenas o número de elementos existentes no lado de topo. Vejamos a tabela:

 

Nº de elementos no lado de topo Nº de elementos da fronteira Nº de elementos do interior Nº total de elementos da figura

2

3

4

11

14

17

4

8

13

 

15

22

30

 

 

Se a nossa atenção incidir nas colunas inicial e final, podemos concluir que quando a figura tem 2 elementos no lado do topo, o número total de elementos da figura é 15; por sua vez, quando o número de elementos do topo é 3, o total de elementos da figura é 22, isto é, 15 + 7; por último, quando o número de elementos do top é 4, o total de elementos da figura é 30, isto é, 15 + 7 + 8.

 

Relativamente à análise dos valores da coluna dos elementos da fronteira, podemos lê-los da seguinte forma: 11; 11 + 1 x 3; 11 + 2 x 3.

 

Por sua vez, os valores da coluna dos elementos do interior podem ter a seguinte leitura: 4; 4 + 4; 4 + 4 + 5.

 

Tendo em conta estas relações numéricas será fácil descobrir os valores para as duas próximas figuras que dêem continuidade a estas três acabadas de analisar?

 

 

Nº de elementos no lado de topo Nº de elementos da fronteira Nº de elementos do interior Nº total de elementos da figura

2

3

4

5

6

11

14 = 11 + 1 x 3

17 = 11 + 2 x 3

20 = 11 + 3 x 3

23 = 11 + 4 x 3

4

8 = 4 + 4

13 = 4 + 4 + 5

19 = 4 + 4 + 5 + 6

26 = 4 + 4 + 5 + 6 + 7

 

15

22 = 15 + 7

30 = 15 + 7 + 8

39 = 15 + 7 + 8 + 9

49 = 15 + 7 + 8 + 9 + 10

  

A título de exemplo, confirmemos os valores avançados para a figura que tem 6 elementos no lado de topo:

 

Esta figura tem, de facto, 23 elementos na fronteira e 26 elementos no interior, perfazendo um total de 49 elementos. Contudo, falta inferir uma lei geral que descreva o "comportamento" matemático deste tipo de figuras. Para tal centremos agora a nossa atenção no total de elementos que compõe cada figura: 15, 22, 30, 39, 49. Haverá algo de semelhante neste conjunto de valores?

 

Vejamos:

 

15 = 16 -1 = 42 - 1

22 = 25 - 3 = 52 - 3

30 = 36 - 6 = 62 - 6

39 = 49 - 10 = 72 - 10

49 = 64 - 15 = 82 - 15

 

Analisando-se os valores acima, conclui-se que o total de elementos de cada figura não é mais do que a diferença entre um número quadrado (42, 52, 62, 72, 82, ...) e um número triangular (1, 3, 6, 10, 15, ...).

 

Tendo em conta esta conclusão, importa operacioná-la no sentido de se conseguir obter o total de elementos (t) de cada figura a partir do respectivo número de elementos (e) do lado do topo. Recordando que a lei geral da sequência dos números quadrados é "n2" e que a lei geral da sequência dos números triangulares é "(n2 + n) : 2", então para o caso destas figuras, a lei geral é a seguinte:

t = (e + 2)2 - [(e2 - e) : 2], porque temos de ter em consideração que o menor valor de "e" tem de ser o 2.

 

A título de exemplo, testemos esta lei para o caso de uma figura com 6 elementos no lado do topo, isto é, "e = 6", então:

 

t = (6 + 2)2 - [(62 - 6) : 2] = 82 - [(36 - 6) : 2] = 64 - 15 = 49.

 

E se as figuras em análise fossem as seguintes:

 

 

Haverá semelhanças entre elas? Quais? Caracterize o que se passa ao nível dos elementos da fronteira e ao nível dos elementos do interior. Haverá uma lei geral que explica a relação eventualmente existente entre estas figuras?

publicado por Paulo Afonso às 23:09
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1 comentário:
De José Filipe a 20 de Março de 2011 às 02:42
Eu olho para estes pentágonos e vejo losangos incompletos. O número de elementos que falta a cada pentágono para passar a ser um losango é um número triangular de elementos.

Isto é, ao 1º pentágono falta um elemento no topo para passar a ser losango, ao 2º pentágono faltam 3 elementos no topo para ser transformado em losango e assim sucessivamente.

Por outro lado, cada losango é constituído por um número quadrado de elementos cujos lados desses quadrados correspondem à sucessão dos números ímpares.
Assim, a relação que se estabelece entre estas figuras atendendo ao número de elementos que os compõem será a diferença entre o quadrado do número ímpar e o número triangular que lhe corresponde na mesma ordem.
Assim para a n-ésima figura temos um total de elementos: (2n+1)^2- [(n^2+n):2]

Por exemplo a 3ª figura vai ter (2x3+1)^2-[(3^2+3):2]=49-6=43 elementos.
Parabéns ao autor pelas “provocações” dos seus problemas, pois desencadeiam pensamentos de elevado nível cognitivo.

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