Sábado, 17 de Setembro de 2011

Números figurados em disposição geométrica - um caso de conexões matemáticas

Quando somos confrontados com situações de Matemática Recreativa, nem sempre conseguimos dar resposta imediata aos desafios colocados. Apostar na nossa capacidade de persistência acaba, muitas vezes, por ser uma boa tomada de decisão. O exemplo com que inicio mais um ano letivo, refletindo sobre esta importante área da recreação matemática, pretende debater este aspeto. Eis o desafio que coloco aos meus leitores:

 

Analise o conjunto de dados numéricos que compõem a figura seguinte e proponha os valores da próxima linha. Qual o critério para a essa sua seleção?

 

 

Provavelmente terá dificuldade, no imediato, de avançar com uma resposta válida, pois aparentemente os números da figura poderão parecer não ter relação entre si. Contudo, muitas poderão ser as abordagens a realizar e, o importante é que, enquanto resolvedores motivados para este tipo de desafios, não desistamos face a esta eventual dificuldade inicial.

 

Uma possível estratégia de resolução poderá passar por se calcular a soma em cada linha, no sentido de se averiguar se existe algum tipo de padrão ou regularidade numérica. Façamo-lo, então:

 

 

Curiosamente poderemos constatar que existe uma regularidade numérica entre as somas obtidas. De fato, de uma soma para a seguinte incrementa-se um valor que é sempre um número quadrado (22, 32, 42 e 52). Ora, continuando com este critério, saber-se-á a soma da linha seguinte, pois basta acrescentar à soma da última linha o valor 36, que é o quadrado de 6. Essa soma será, pois, o valor 91.

 

Significa isto, que os valores da figura inicial poderão ser substituídos exclusivamente por números quadrados:

 

 

Face a esta importante descoberta, ficará fácil avançar com uma proposta de valores para a linha que é solicitada na tarefa. A figura seguinte elucida a continuidade do padrão descoberto, confirmando a soma inferida acima:

 

 

Fica, pois, resolvida uma tarefa que inicialmente parecia ter um grau de dificuldade elevado. Desenvolver em cada um de nós a capacidade de persistência é, pois, um dos objetivos deste tipo de tarefas que proponho para reflexão conjunta.

 

Já ao nível da sala de aula de matemática seria interessante que os alunos, além de descobrirem este tipo de estratégia de resolução, não ficassem satisfeitos com ela e tentassem outras abordagens que a tarefa suscita.

 

Uma possível abordagem, diferente da sugerida acima, passa por se estabelecer uma relação aritmética a partir dos valores iniciais da tarefa:

 

Note-se que a relação estabelecida na figura acima possibilita o evidenciar de uma importante conexão matemática aos números triangulares. De fato, todos os fatores que multiplicam o valor 2, e o último valor de cada linha (1, 3, 6, 10, 15, ...), fazem parte deste conjunto de números figurados, tema ao qual já dedicámos muitos artigos neste blog.

 

Há, pois, uma lógica numérica que pode ser aplicada em todos os casos. De uma linha para a seguinte dobra-se o último número (triangular) da linha anterior e adiciona-se o próximo número triangular. Ora, tendo em conta este raciocínio, será fácil propor a próxima linha, que contempla já o próximo número triangular - 21:

 

 

Seria, pois, interessante, em sala de aula, que os alunos percebessem o "comportamento matemático" dos números envolvidos na figura inicial, assim trabalhada:

 

Saliente-se, então, que os valores a, c, d, e e f pertencem todos ao conjunto dos números triangulares, pelo que a próxima linha terá de ser a seguinte:

 

Sendo assim, substituindo as letras pelos respetivos valores numéricos, eis a confirmação dos números da última linha, bem como  da soma 91:

 

 

Em jeito de síntese, poder-se-á concluir que esta tarefa, aparentemente difícil, suscitou estes dois tipos de abordagem interessantes e complementares, permitido uma visão da Matemática como sendo a ciência dos padrões e em que os conceitos se conetam entre si!

 

Como sugestão, analise qual o conjunto de números a acrescentar na próxima linha da figura seguinte. Explique o critério de seleção:

 

 

publicado por Paulo Afonso às 19:57
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