Domingo, 11 de Dezembro de 2011

Conexão matemática entre as potências de base dois, os números primos e os números perfeitos

Tem sido apanágio deste blog evidenciar a Matemática como ciência global, isto é, onde os conceitos parecem interligar-se uns com os outros como que unidos por qualquer obra divina! Desta feita irei expor o resultado da reflexão que efetuei a propósito de pesquisas relacionadas com os conceitos matemáticos que dão nome a este artigo.

 

Começo por propôr uma investigação que permita identificar se haverá alguns números primos que resultem da diferença entre as várias potências de base dois, com expoente natural, e a unidade.

 

Uma possível solução passa por se fazer uma teste para as primeiras dez potências de base 2:

 

n = 1 21 - 1 = 2 - 1 = 1
n= 2 22 - 1 = 4 - 1 = 3
n = 3 23 - 1 = 8 - 1 = 7
n = 4 24 - 1 = 16 - 1 = 15
n = 5 25 - 1 = 32 - 1 = 31
n = 6 26 - 1 = 64 - 1 = 63
n = 7 27 - 1 = 128 - 1 = 127
n = 8 28 - 1 = 256 - 1 = 255
n = 9 29 - 1 = 512 - 1 = 511
n= 10 210 - 1 = 1024 - 1 = 1023

 

Tendo em conta todas as diferenças obtidas, existem algumas que são números primos: 3, 7, 31, 127 e 511. À exceção do 1, os restantes são, pois, números compostos por admitirem mais divisores além deles próprios e da unidade.

 

Ora, centremo-nos nos números que são primos: 3, 7, 31, 127 e 511. Multipliquemos cada um deles pela mesma potência de base dois que lhe deu origem mas subtraindo ao expoente uma unidade. Que produtos se irão obter?

 

Uma tabela semelhante à anterior poderá ser um precioso auxílio:

 

n = 2 3 x 2n-1 = 3 x 2 = 6
n = 3 7 x 2n-1 = 7 x 4 = 28
n = 5 31 x 2n-1 = 31 x 16 = 496
n = 7 127 x 2n-1 = 127 x 64 = 8128
n = 9 511 x 2n-1 = 511 X 256 = 130816

  

Uma particularidade interessante é o facto de todos os produtos obtidos serem números pares. Investiguemos, agora, acerca dos divisores dos três primeiros (6, 28 e 496). Quais são os divisores de cada um?

 

Recorrendo ao processo de fatorização em fatores primos temos os seguintes resultados:

 

Fatorização do 6 Fatorização do 28 Fatorização do 496
   

 

6 = 2 x 3 28 = 22 x 7 496 = 24 x 31

 

Tendo em conta os expoentes dos fatores primos de cada fatorização podemos saber o número de divisores de cada número. Assim, no caso do 6, os expoentes dos fatores são 1 e 1, pelo que este número terá (1 + 1) x (1 + 1) = 2 x 2 = 4 divisores:

 

 

Por sua vez, os fatores do 28 têm expoentes 2 e 1, pelo que este número terá (2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 = 6 divisores:

 

 

Já o 496 terá (4 + 1) x (1 + 1) = 5 x 2 = 10 divisores:

 

 

Qual será, para cada caso, a soma dos seus divisores próprios, isto é, a soma de todos os divisores do número, excluindo ele próprio?

 

Vejamos:

a) 1 + 2 + 3 = 6

b) 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

 

Constata-se, pois, que em cada caso a soma dos divisores próprios do número coincide com esse número. Logo, o 6, o 28 e o 496 fazem parte de um fascinante conjunto de números designado por conjunto dos números perfeitos.

 

A este propósito sugiro a consulta do seguinte site: http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/nperfeitos.html.

 

Será que o 8128 e 130816 também são números perfeitos? A ser assim, qual o procedimento algorítmico que permite a sua obtenção?

 

 

publicado por Paulo Afonso às 18:05
link do artigo | comentar | favorito
|

mais sobre mim

pesquisar

 

Traduzir Blog


Visitas ao segundo

artigos recentes

Teia numérica

Xavier e o pensamento alg...

Dos pares ordenados ao pe...

À procura de regularidade...

Dar sentido aos números

Conexões matemáticas envo...

Dízimas infinitas periódi...

Do Futebol à Matemática

Sequência numérica enigmá...

União de Blogs de Matemát...

Calendários escritos em d...

Relógios matemáticos

Números oblongos e invest...

Conexão matemática entre ...

Conexão matemática entre ...

Conexões matemáticas envo...

Problemas de lógica envol...

Sequências numéricas cont...

Magia matemática envolven...

Números figurados em disp...

Comunicar em Matemática

Xavier e a Magia Matemáti...

Somas cruzadas

Utilização da Matemática ...

Pentágonos em relação alg...

Das regularidades numéric...

Pensamento algébrico - à ...

De volta ao número nove

Cubos mágicos

Pirâmides numéricas

Conexões matemáticas entr...

Pontes geométricas - cone...

Hexágonos mágicos

Dependência numérica - um...

Kakuro e pensamento aritm...

Sudoku e comunicação mate...

Geometria algebrizada - o...

Problemas que desenvolvem...

Triângulos mágicos de 9 n...

Conexões matemáticas e pe...

Regularidades envolvendo ...

A Matemática nos truques ...

Padrões de repetição e pa...

Investigações matemáticas...

Operar com números pares

Análise numérica de padrõ...

Figuras mágicas e tarefas...

Um caso prático de número...

Dos problemas aos conceit...

Explorando o factorial do...

Prazer matemático

Cortesía de AoPS

palavras-chave

todas as tags

links

Traduzir


Get Your Own Scroller

Contador

Web Counter

Janeiro 2013

Dom
Seg
Ter
Qua
Qui
Sex
Sab
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

Pessoas on-line

online

Publicidade

Este Blog é membro do União de Blogs de Matemática


"

MusicPlaylist