Sexta-feira, 15 de Agosto de 2008

Reconhecer padrões

Como referi num outro artigo deste Blog, em actividades de Matemática Recreativa, o tema dos padrões costuma despertar muita atenção por parte dos resolvedores. Veja-se o seguinte exemplo e tente dar continuidade ao padrão:

 

225, 625, 1225, 2025, 3025, 4225, 5625, 7225, 9025

 

A resolução desta situação pode passar pela seguinte estratégia: isolar o número 25 em cada caso e centrar a atenção apenas no que resta:

 

2     25

6     25

12     25

20     25

30     25

42     25

56     25

72     25

90    25

 

Ora, os valores da coluna da esquerda podem ser vistos como sendo o produto de dois números consecutivos, isto é:

 

2  (1 x 2) 25
6  (2 x 3) 25
12  (3 x 4) 25
20  (4 x 5) 25
30  (5 x 6) 25
42  (6 x 7) 25
56  (7 x 8) 25
72  (8 x 9) 25
90  (9 x 10) 25

 

Sendo assim, a solução desta tarefa envolve o produto de 10 por 11, acrescido do valor 25, isto é, o valor 11025.

 

 

110 (10 x 11) 25

 

 

Transportando esta tarefa para a sala de aula, seria interessante levar os alunos a concluir que cada valor da sequência numérica inicial não é mais do que o quadrado de um número terminado em 5:

 

152 = 225

252 = 625

352 = 1225

452 = 2025

552 = 3025

652 = 4225

752 = 5625

852 = 7225

952 = 9025

 

Recorrendo à teoria dos números, pode-se pensar num número formado por dois dígitos (w5), em que o das unidades é 5. Se se elevar este número ao quadrado, isto é, (10w + 5)2, implica o seguinte desenvolvimento: 100w2 + 100w + 25. Isolando o 25 e colocando o 100 em evidência, obtém-se o seguinte: 100 (w2 + w) + 25, ou seja: 100 x [w x (w + 1)] + 25. Logo, multiplicando-se o valor situado à esquerda do 5 pelo seu sucessor, obtém-se o valor da ordem das centenas do resultado final, seguido do 25.

Face a esta explicação, seria interessante desafiar os alunos a fazer um estudo semelhante para o caso dos quadrados dos números formados por dois dígitos, cujo algarismo das unidades seja diferente do 5, como seja o caso, por exemplo, do 3.

 

publicado por Paulo Afonso às 11:42
link do artigo | comentar | favorito
|
1 comentário:
De J. Filipe a 17 de Agosto de 2008 às 18:34
Desculpa-me a interjeição, mas é caso para dizer: “Q´um catano!”. É por isso que a matemática vale a pena. Quando descobrimos qualquer coisa nova nesta ciência, com um pouco mais de perseverança e curiosidade, acabamos por descobrir nos seus próprios “registos” a explicação dos seus fenómenos.

Deveríamos andar mais atentos a esses fenómenos, nem sempre os vemos. Eu próprio, nunca me tinha apercebido que para determinar o valor do quadrado de um número do tipo A3 (dois dígitos), basta multiplicar o algarismo das dezenas acompanhado pelo 6 à sua direita (A6), por ele próprio (A) e, colocar à direita desse produto o 9.

A exemplo disso, quanto será 53 ao quadrado? Ora, ao 5 - algarismo das dezenas, juntamos o 6 e multiplicamos por 5. Portanto 56x5 (é o mesmo que 28x10). Agora só falta pedir ao 9 para também acompanhar o 280, e assim se obtém 2809, o mesmo que, 53 ao quadrado.

Obrigado Paulo, por me teres mostrado outro fenómeno e indicado o caminho do “registo” da sua explicação.

E, já agora, pelo exposto apresento a seguinte conjectura:

Para determinar o valor do quadrado de qualquer número, adiciona-se a esse número o algarismo das unidades e multiplica-se pela quantidade de dezenas desse número. A esse produto junta-se um zero à direita e adiciona-se o quadrado do algarismo das unidades.

Será verdade ou falso?

Comentar artigo

mais sobre mim

pesquisar

 

Traduzir Blog


Visitas ao segundo

artigos recentes

Teia numérica

Xavier e o pensamento alg...

Dos pares ordenados ao pe...

À procura de regularidade...

Dar sentido aos números

Conexões matemáticas envo...

Dízimas infinitas periódi...

Do Futebol à Matemática

Sequência numérica enigmá...

União de Blogs de Matemát...

Calendários escritos em d...

Relógios matemáticos

Números oblongos e invest...

Conexão matemática entre ...

Conexão matemática entre ...

Conexões matemáticas envo...

Problemas de lógica envol...

Sequências numéricas cont...

Magia matemática envolven...

Números figurados em disp...

Comunicar em Matemática

Xavier e a Magia Matemáti...

Somas cruzadas

Utilização da Matemática ...

Pentágonos em relação alg...

Das regularidades numéric...

Pensamento algébrico - à ...

De volta ao número nove

Cubos mágicos

Pirâmides numéricas

Conexões matemáticas entr...

Pontes geométricas - cone...

Hexágonos mágicos

Dependência numérica - um...

Kakuro e pensamento aritm...

Sudoku e comunicação mate...

Geometria algebrizada - o...

Problemas que desenvolvem...

Triângulos mágicos de 9 n...

Conexões matemáticas e pe...

Regularidades envolvendo ...

A Matemática nos truques ...

Padrões de repetição e pa...

Investigações matemáticas...

Operar com números pares

Análise numérica de padrõ...

Figuras mágicas e tarefas...

Um caso prático de número...

Dos problemas aos conceit...

Explorando o factorial do...

Prazer matemático

Cortesía de AoPS

palavras-chave

todas as tags

links

Traduzir


Get Your Own Scroller

Contador

Web Counter

Janeiro 2013

Dom
Seg
Ter
Qua
Qui
Sex
Sab
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

Pessoas on-line

online

Publicidade

Este Blog é membro do União de Blogs de Matemática


"

MusicPlaylist