Domingo, 31 de Agosto de 2008

Somas olímpicas

Como referi no artigo anterior, as figuras geométricas, quando associadas a determinados números, permitem uma viagem fascinante ao mundo das figuras mágicas. O exemplo que a seguir apresento pode encontrar-se em dois magníficos livros do autor Capó Dolz*:

Na figura seguinte, alusiva aos Jogos Olímpicos, colocar nos 8 círculos cor-de-laranja os algarismos de 1 a 8, inclusive, de modo a que a soma de cada círculo maior central seja sempre a mesma e seja o dobro da soma de cada um dos dois círculos maiores laterais:

Uma possível resolução, com recurso à estratégia da tentativa e erro, poderia ser uma das duas que apresento:

 

Contudo, esta tarefa recreativa, levada para contexto de sala de aula exigia uma estratégia mais matematicamente sustentada.

Note-se que em ambas as soluções apresentadas, cada círculo lateral contém um par de números cuja soma é sempre 9. Por sua vez, cada círculo central, ao conter dois pares de números, igualmente com esta soma 9, possibilita que se dê resposta favorável à tarefa, pois a sua soma é 18. De facto, como se trata de um número par de algarismos consecutivos, permite que se observe a seguinte regularidade:

1 + 8 = 9; 2 + 7 = 9; 3 + 6 = 9; 4 + 5 = 9. Logo, colocando em várias possíveis posições os pares encontrados (1, 8), (2, 7), (3, 6) e (4, 5), obtém-se a resposta ao desafio colocado.

Note-se que se aos quatro primeiros círculos cor-de-laranja associarmos os números a, b, c e d e aos quatro seguintes, os números e, f, g e h, sabemos que a + b + c + d = c + d + e + f = e + f + g + h.

Por sua vez, também sabemos que a + b + c + d = 2 (a + b) e que e + f + g + h = 2 (g + h). Logo, resulta que a + b = c + d e g + h = e + f, sendo estas somas todas iguais. Ora isto só acontece para o caso de cada par de parcelas originar a soma 9.

* - Capó Dolz, Miquel (2007). Atrévete con las mates! Madrid: elrompecabezas.

- Capó Dolz, Miquel (2007). 101 Juegos de Lógica para Novatos. Tres Cantos: nívola.

 

Esta tarefa, permite algumas extensões, como seja o seguinte:

Colocar na figura original os mesmos 8 números, mas de acordo com as seguintes regras:

1 - A soma dos círculos laterais A e E ser a mesma

2 - A soma dos círculos B e D ser a mesma

3 - A soma do círculo C ser a maior de todas

Eis uma possível solução:

Encontre outra e explique o seu raciocínio!

publicado por Paulo Afonso às 00:02
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