Quinta-feira, 4 de Setembro de 2008

Potências e padrões numéricos

O tema das potências de expoente natural é um dos temas propícios a adoptar em actividades de Matemática Recreativa. Por um lado permitem várias conexões a temas do quotidiano e permitem, por outro lado, a realização de investigações interessantes ao nível dos padrões de natureza numérica. Veja-se o seguinte caso:

De uma forma rápida, encontre a soma seguinte, que dê continuidade ao padrão numérico das somas apresentadas, resultantes da adição de várias potências de base 2:

1 + 2 =                                                                       3

1 + 2 + 4 =                                                                 7

1 + 2 + 4 + 8 =                                                         15

..... =                                                                           ?

Uma resposta possível ao desafio colocado podia passar pela escrita da próxima sequência, efectuando-se a respectiva soma:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 =                                                  31

Contudo, ao nível da sala de aula de matemática, este desafio poderia ser utilizado para que os alunos pudessem propor uma estratégia de resolução matematicamente mais elegante, passando pela descoberta da regra que atravessa todos estes casos. Seria interessante que os alunos pudessem descobrir que a soma para cada sequência apresentada passa pela descoberta do próximo termo, subtraindo-se uma unidade.

Note que se a sequência envolver as potências de base 3, o critério é ligeiramente diferente:

1 + 3 =                                                                        4

1 + 3 + 9 =                                                                13

1 + 3 + 9 + 27 =                                                        40

... =                                                                              ?

No caso vertente, a estratégia de resolução passa pela identificação do termo seguinte, subtraindo-se uma unidade a esse valor e calculando-se a metade deste valor final.

E no caso das potências de base 4 ou no caso das potências de base 5? Qual a estratégia adequada para a descoberta rápida de uma qualquer soma envolvendo potências consecutivas?

Potência de base 4 Potências de base 5
1 + 4 = 5 1 + 5 = 6 
1 + 4 + 16 = 21 1 + 5 + 25 = 31 
1 + 4 + 16 + 64 = 85 1 + 5 + 25 + 125 = 165
... =  ? ... = ?

 

publicado por Paulo Afonso às 01:25
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