Sexta-feira, 5 de Setembro de 2008

Sequências mágicas

Em Matemática Recreativa as sequências numéricas suscitam actividades muito motivadoras quando associadas a determinadas disposições geométricas. Este tipo de conexão matemática podemos encontrá-la em múltiplas publicações da especialidade, como seja o magnífico livro de Brian Bolt (1996)*. Vejamos o seguinte exemplo que adaptamos dessa obra:

Colocar na figura seguinte os algarismos de 1 a 8, de modo a que a soma em cada linha e em cada coluna seja sempre a mesma:

 

Por tentativa e erro, esta tarefa poderia ser resolvida da seguinte forma, não esgotando, contudo, todas as possibilidades que existem:

Como explicação teórica sabemos que cada uma das quatro somas (S) é sempre a mesma, isto é, a + b + c = e + d + h = f + e + b = g + c + d. Logo, também sabemos que:

4S = a + b + c + e + d + h + f + e + b + g + c + d, isto é,

4S = a + 2b + 2c + 2d + 2e + f + g + h, ou

4S = (b + c + d + e) + (a + b + c + d + e + f + g + h)

Por outro lado sabemos que a + b + c + d + e + f + g + h = 36, logo:

4S = b + c + d + e + 36

Sabemos ainda que no mínimo b + c + d + e = 10 e no máximo será 26.

Logo, 4S estará compreendido entre 10 + 36 e 26 + 36, isto é, entre 46 e 62. Daqui podemos concluir que S estará entre 12 e 15.

Admitindo que S possa ser 12, sabe-se que b + c + d + e = 4 x 12 - 36, isto é, b + c + d + e = 12.

Sabemos também que a + b + c + e + d + h = 24. Logo, a + h = 24 - 12 = 12. Por sua vez, g + f = 12. Com base nestas conclusões torna-se fácil apresentar a solução aqui ilustrada.

Consegue fazer os estudos respectivos para as somas 13, 14 e 15?

* - Bolt. Brian (1996). Puzzles de Matemática. Lisboa: Terramar.

Esta interessante tarefa permite várias extensões, de entre as quais destaco o estudo semelhante para o caso de os oito números envolvidos serem os seguintes: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12.

Será que a soma mínima é 24, como mostro na figura seguinte? Haverás mais somas? Quantas?

Outra extensão possível é tentar distribuir os oitos números originais, de modo que as quatro somas sejam quatro números inteiros consecutivos.

Um caso possível é da figura seguinte, contudo o desafio é o de se investigar se existem mais casos como este, isto é, envolvendo quatro somas consecutivas, diferentes destas ou, então, que configurem uma progressão aritmética de razão 2.

Apenas deixo a pista de se analisar os quatro números colocados nas quadrículas a, f, g e h. De que números se tratam?

publicado por Paulo Afonso às 21:42
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