Quinta-feira, 11 de Setembro de 2008

Produtos curiosos

A Matemática é fértil no que respeita ao estabelecimento de relações entre os seus entes. Algumas dessas relações conseguem deixar-nos completamente surpreendidos e levam a que o nosso gosto para com esta ciência não pare de aumentar.

Como actividade de recreação matemática poderia colocar-se a questão de se investigarem possíveis relações existentes nas seguintes propostas de multiplicação:

84 x 24 64 x 23 42 x 12

Uma relação possível seria, por exemplo, que cada algarismo das dezenas do factor da esquerda representa o dobro de cada algarismo das unidades do factor da direita. Por sua vez, cada algarismo das unidades do factor da esquerda também representa o dobro de cada algarismo das dezenas do factor da direita.

Aparentemente, esta relação, apesar de existir, parece não ter muita relevância em termos matemáticos.

Contudo, se olharmos com mais atenção para estas mesmas multiplicações, e para estas três novas que apresento a seguir, outras relações, matematicamente mais interessantes, poderão surgir.

Relacione, pois, estes novos factores com os anteriores e reflicta nas possíveis causas de obtenção dos produtos respectivos.

48 x 42 46 x 32 24 x 21

Esta nova tarefa representa, pois, um desafio mais interessante e as conclusões a que chegamos não nos podem deixar indiferentes. De facto, surge uma conclusão matematicamente poderosa, que é a seguinte: no caso específico destas multiplicações, envolvendo a inversão das ordens de cada factor, permitiu, para cada par de multiplicações, a obtenção de produtos iguais:

84 x 24 = 48 x 42 64 x 23 = 46 x 32 42 x 12 = 24 x 21

Será que existem mais casos que confirmem este tipo de relação?

Note-se que estamos perante dois números formados por dois algarismos: yz e tw, de modo que (10y + z ) x (10t + w) = (10z + y) x (10w + t). Resolvendo esta igualdade, resulta que: 100yt + 10yw + 10tz + zw = 100zw + 10tz + 10yw + yt. Simplificando, fica: 99yt = 99zw, ou seja: yt = zw.

Esta relação matemática permite que se conclua que o produto dos algarismos das dezenas seja igual ao produto dos algarismos das unidades.

Ora, com base nesta conclusão, vários são os casos de sucesso, como os seguintes:

62 x 13 = 26 x 31 82 x 14 = 28 x 41 86 x 34 = 68 x 43

Descubra os restantes casos!

publicado por Paulo Afonso às 16:53
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