Segunda-feira, 15 de Setembro de 2008

Conexões numéricas

A Matemática é fértil em situações que possibilitam o estabelecimento de várias conexões, seja entre vários dos seus conteúdos, seja com conteúdos de outras ciências ou até mesmo com a realidade do nosso dia a dia. O exemplo que seleccionei para este artigo, com carácter de recreação matemática, fica-se pela própria Matemática.

Imagine-se desafiado a tentar perceber a relação que existe nas seguintes "frases matemáticas", dando continuidade à regularidade, eventualmente, encontrada:  

5 x 1 + 02 5 x 2 + 12 5 x 3 + 22

Provavelmente não terá dúvidas em afirmar que para cada caso estamos na presença de números primos, pois, 5, 11 e 19 são números apenas divisíveis pela unidade e por eles próprios: 

5 x 1 + 02 = 5 5 x 2 + 12 = 11 5 x 3 + 22 = 19

Aliás, ao prolongar-se esta regularidade, confirma-se a obtenção de novos números primos, pois:

5 x 4 + 32 = 29

5 x 5 + 42 = 41

Contudo, nem sempre o nosso pensamento intuitivo nos leva por caminhos matematicamente válidos, pois basta encontrarmos um contra-exemplo para que caia por terra a nossa melhor conjectura!

De facto, basta seguir o padrão anterior e acrescentar-lhe um novo valor para se perceber que o resultado já não faz parte do conjunto dos números primos:

5 x 6 + 52 = 55.

Quem sabe se o seu sentido de observação não o terá levado, antes, a ver os números destacados em negrito como sendo o resultado do produto de dois números consecutivos, subtraído de uma unidade: 

5 = 2 x 3 - 1

11 = 3 x 4 - 1

19 = 4 x 5 - 1

29 = 5 x 6 - 1

41 = 6 x 7 - 1

55 = 7 x 8 - 1

Na perspectiva do conhecimento matemático trata-se de uma boa conclusão, pois, de facto, essa sequência numérica pode resultar da diferença entre o produto de dois números consecutivos e a unidade. Sendo assim, seria fácil propor o próximo número, que seria o resultado de 8 x 9 - 1, isto é, o 71, que, por acaso, volta a ser um número primo.

Contudo, o estabelecimento de relações pode passar, também, por se perceber o sentido do incremento desta sequência numérica. Ora, centrando a nossa atenção nessa sequência:

5     11     19     29     41     55     71     ...

Verificamos que do 1º para o 2º termo há um incremento de 6 unidades. Depois, do 2º para o 3º termo há um incremento de 8 unidades, seguindo-se um incremento de 10 unidades, e assim sucessivamente.

A tabela seguinte ajuda a perceber a passagem do 1º termo para qualquer dos seguintes, evidenciando um nova regularidade: 

Termo Incremento
1º - 5  
2º - 11 5 + 6
3º - 19 5 + 6 x 2 + 2 x 1
4º - 29 5 + 6 x 3 + 2 x 3
5º - 41 5 + 6 x 4 + 2 x 6
6º - 55 5 + 6 x 5 + 2 x 10

Confirma-se que o próximo termo, 71, resultará de 5 + 6 x 6 + 2 x 15. Analisando-se a coluna respeitante ao incremento a partir do 1º termo da sequência, destaca-se o facto de um dos factores da última múltiplicação em cada linha ser um número triangular (1, 3, 6 , 10, 15,...), cuja lei geral que os origina é a seguinte: (n2 + n) : 2.

Logo, daqui resulta fácil a construção da lei geral que origina a sequência dos números em análise, que será: 5 + 6 (n -1) + 2 x [(n -2)2 + (n - 2)] : 2.

Vimos, pois, que esta sequência de números, como tantas outras que poderíamos analisar, permite o estabelecimento de conexões muito interessantes entre vários conceitos matemáticos, como sejam os números primos, os números sucessivos ou, ainda, as potências de expoente dois ou os números quadrados e o conceito de raiz quadrada.

Analise-se a relação entre a sequência dada e estas novas frases matemáticas:

5 1 x 2 x 3 x 4 + 1
11 2 x 3 x 4 x 5 + 1
19 3 x 4 x 5 x 6 + 1

 Que ilações consegue retirar a partir dos valores da tabela? Dê continuidade a ambas as colunas!

publicado por Paulo Afonso às 22:54
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