Quinta-feira, 25 de Setembro de 2008

Investigações matemáticas envolvendo os números pares e os números ímpares

Quem não gostaria de dizer que tem jeito para ser investigador matemático? Provavelmente aqueles que são apaixonados pela Matemática têm investido bastante no sentido de irem desenvolvendo a sua postura de permanente indagação, aspecto indispensável a quem pretende ser investigador matemático.

As situações de recreação matemática são propícias ao desenvolvimento deste tipo de postura para com esta apaixonante ciência. Conjecturar, procurar regularidades, testar hipóteses, reflectir, questionar, são, pois, aspectos inerentes ao acto de investigar.

Por vezes, ao tentar resolver-se uma determinada tarefa ou desafio matemático, perfeitamente delimitado ao nível do que é dado e do que é pedido, surge a possibilidade de se pensar em possíveis extensões dessas tarefas ou desafios, de modo a criarem-se verdadeiros cenários de investigação matemática, onde apenas sabemos de onde vimos mas não temos certezas relativamente aonde vamos chegar.

O exemplo que escolhi para ilustrar este tema tem por base um desafio matemático que encontrei num maravilhoso livro* de Henry Dudeney, recentemente publicado em Portugal pela RBA Editores. Eis o enunciado:

Um comerciante de Bagdade tinha à venda dez barris de um valioso bálsamo. Estavam numerados e dispostos em duas filas, uma sobre a outra […]. Quanto menor era o número do barril, maior era o seu valor. Deste modo, a melhor qualidade estava numerada com um «1» e a pior estava numerada com um «10»; os outros números respeitavam esta escala de qualidade.

Ora bem, a regra de Ahmed Assan, era este o nome do comerciante, consistia em não pôr um barril debaixo ou à direita de um de menor valor […]. O enigma consiste em descobrir de quantas maneiras diferentes pôde o comerciante de Bagdade ter acomodado os seus barris nas duas filas, sem quebrar a regra. Consegue calcular a quantidade de maneiras?” (Dudeney, 2008, pp. 87-88).

* - Dudeney, Henry (2008). O mistério do cais. Divertimentos matemáticos (III). Barcelona: RBA Editores.

 Esta situação tem várias resoluções, de entre as quais destaco as seguintes: 

1     2     4     6     8

 3     5     7     9   10

1     3     5     7     9

 2     4     6     8   10

1     2     3     4     5

6     7     8     9   10

Como o autor explica, é fácil descobrir-se o número de possibildades de resposta correcta, bastando para tal multiplicar-se os valores de cada fila, seguindo-se a divisão do maior valor obtido pelo menor. Este processo permite encontrar as 252 combinações de dez objectos, tomando cinco de cada vez. Este valor deve, ainda, ser dividido por 6 (sucessor do número de barris por fila) e obtém-se a resposta à tarefa, que é 42 maneiras possíveis.

Testando esta regra para o caso de os valores dos barris serem apenas 1, 2, 3 e 4, a mesma confirma-se, pois originam-se duas possibilidades, que são os seguintes: 

1 x 2 = 2; 3 x 4 = 12; 12 : 2 = 6; 6 : (2 + 1) = 2,

1     2

3     4

1     3

2     4

Confirme a regra para o caso de os barris terem os seguintes rótulos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Ora, ao colocar em campo a nossa vontade de se dar resposta a este último desafio, constatamos que se obtiveram, entre outros, estes dois casos de sucesso:

1     2     5

3     4     6

1     3     4

2     5     6

"Olhando com olhos de ver" para estes dois casos em concreto, verificamos a seguinte curiosidade: a soma dos valores da fila de cima é igual nos dois casos. Por sua vez, a soma dos valores da fila de baixo também, ainda que diferente daquela. Refiro-me, respectivamente, aos valores 8 e 13.

Será interessante verificar se ocorrerão mais casos como este...

Apelando ao nosso sentido de indagação, podemos tentar investigar se esta situação também ocorre no caso dos seis primeiros números pares ou no caso dos seis primeiros números ímpares.

Eis o resultado surpreendente:

Números pares:  

Números ímpares:

 

2     4     10

6     8     12

2     6     8

4     10   12

1     3     9

  5     7    11

1     5     7

 3      9    11

Para além de se confirmar a conjectura, consta-se uma nova curiosidade: em todos os casos, a diferença entre as duas somas é sempre 10 unidades!

(a) Será que a posição dos valores nas respectivas sequências influencia os resultados desta investigação?

(b) Será que também resulta para a seguinte progressão aritmética: 20, 24, 28, 32, 36, 40?

(c) Será que a razão da progressão, isto é, a diferença entre dois números consecutivos da sequência numérica, influencia a diferença de valores entre a soma dos valores da fila de cima e a soma dos valores da fila de baixo?

publicado por Paulo Afonso às 00:22
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1 comentário:
De manuel a 5 de Julho de 2009 às 01:39
Para 6 barris só encontro 4 soluções:

125 135 124 134
346 246 356 256

deveria segundo o texto comb(6,3)/ 4 = 5 ?

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