Quarta-feira, 1 de Outubro de 2008

Relação algébrica envolvendo o tema das idades

Um dos temas comuns em actividades de recreação matemática é a idade das pessoas. Em muitos casos os resolvedores são solicitados a identificar a idade de alguém, tendo que saber tirar partido dos dados ou das pistas fornecidas pelo enunciado. O exemplo que escolhi para abordar este tema é o seguinte:

"Será possível dizer-se que uma determinada pessoa A pode passar a ter o dobro da idade de uma outra pessoa B, sendo que agora a pessoa A tem quatro vezes a idade da pessoa B?"

Por tentativas, este desafio de recreação matemática pode ser resolvido de forma afirmativa, pois, se a pessoa B tiver agora 10 anos e a pessoa A tiver 40, quando a pessoa B tiver 30 anos, a pessoa A terá 60. Ora, 40 = 4 x 10 e 60 = 2 x 30.

Outro caso de sucesso é, por exemplo, o seguinte: se a pessoa B tiver agora 12 anos e a pessoa A tiver 48, quando a pessoa B tiver 36 anos, a pessoa A terá 72. Uma vez mais, 48 = 4 x 12 e 72 = 2 x 36.

Se se transportar esta situação para contexto de sala de aula, será desejável que os alunos analisem algebricamente este tipo de relações matemáticas. Inicialmente, se a pessoa B tiver b anos, a pessoa A terá 4b anos. No final, se a pessoa B passar a ter b + 2b anos, isto é, 3b anos, a pessoa A terá 4b + 2b anos, isto é, 6b anos. Logo, terá o dobro da idade da pessoa B. Esta constatação pode ser obtida através da resolução de um simples sistema de duas equações lineares, a duas incógnitas, que me dispenso de apresentar aqui.

O quadro seguinte evidencia esta constatação algébrica, com a respectiva generalização: 

  Pessoa B Pessoa A Conclusão

Agora

Depois

1

1 + 2 x 1 = 3

4

4 + 2 = 6

4 = 4 x 1

6 = 2 x 3

Agora

Depois

2

2 + 2 x 2 = 6

8

8 + 4 = 12

8 = 4 x 2

12 = 2 x 6

Agora

Depois

b

b + 2b = 3b

4b

4b + 2b = 6b

4b = 4 x b

6b = 3 x 2b

Face à relação algébrica evidenciada no quadro anterior, poder-se-ão desafiar os alunos a resolver a seguinte situação:

Se uma pessoa B tiver agora 9 anos, com que idade é que uma pessoa A, que tem agora o quadruplo da idade da pessoa B, poderá dizer que passou a ter o dobro da idade dessa pessoa B?

Esta situação permite, necessariamente, múltiplas extensões, como a que apresento a seguir:

"Será possível dizer-se que uma determinada pessoa A pode passar a ter o dobro da idade de uma outra pessoa B, sendo que agora a pessoa A tem o triplo da idade da pessoa B?"

Faça a investigação respectiva e verá que vai ficar, porventura, surpreendido!

 

publicado por Paulo Afonso às 09:55
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