Sexta-feira, 10 de Outubro de 2008

Conexões matemáticas envolvendo polígonos regulares e as suas diagonais

A Geometria e a Medida são duas áreas afins da Matemática, de onde têm sido produzidas muitas actividades de recreação matemática. O exemplo que escolhi para abordar o tema das conexões matemáticas, envolvendo a Geometria e a Medida, tem a ver com o conceito de polígono regular e com o conceito de diagonal de um polígono regular, cujas definições são do domínio comum.

Imagine que era desafiado a identificar o número de segmentos de recta que unem dois vértices não consecutivos em cada uma das seguintes figuras geométricas 

Facilmente se apercebia que no caso do triângulo não existe nenhum segmento de recta deste tipo, no caso do quadrado existem 2, no caso do pentágono existem 5, no caso do hexágono existem 9 e no caso do heptágono existem 14: 

Sem desenhar a respectiva figura seria interessante que se conseguisse descobrir o número de segmentos de recta deste tipo para o caso de se tratar de um polígono regular de doze lados, isto é, um dodecágono.

Seria desejável que os resolvedores tentassem olhar para o número de segmentos de recta deste tipo em cada figura, no sentido de perceberem se existe ou não algum tipo de regularidade.

Ora, constata-se que o número se segmentos de recta para cada caso é, respectivamente, o seguinte: 0, 2, 5, 9, 14. Se se reparar, de 0 para 2 há um incremento de duas unidades; de 2 para 5 o incremento é de três unidades; de 5 para 9 é de quatro e de 9 para 14 é de cinco. Seguindo-se este critério, facilmente se conclui que para o caso do dodecágono existem 54 segmentos de recta deste tipo.

Se esta situação for transportada para o contexto de sala de aula, seria interessante que os alunos pudessem pensar numa lei geral que relacionasse o número deste tipo de segmentos de recta  - diagonais dos polígonos - com o número de lados de cada polígono.

A tabela seguinte sistematiza os dados: 

  Polígono    

Nº de Lados (l)

Nº de Diagonais (d)

Triângulo

3

0

Quadrado

4

2

Pentágono

5

5

Hexágono

6

9

Heptágono

7

14

Octógono

8

20

Eneágono

9

 27

Decágono

10

 35

Undeágono

11

 44

Dodecágono

12

 54

Analisando-se ambas as colunas que contêm valores numéricos, deduz-se a lei geral de obtenção do número de diagonais de um polígono regular a partir do número de lados desse polígono: d = l x (l - 3) : 2, sendo "d" o número de diagonais de um polígono regular e "l" o número de lados desse polígono.

Neste caso qualquer pergunta que vise a obtenção do número de diagonais de um determinado polígono regular, facilmente será resolvida pela aplicação directa da fórmula anterior.

Sendo assim, qual o número de diagonais do icoságono, isto é, do polígono regular formado por 20 lados?

Tal como temos vindo a fazer em artigos anteriores, este tema também pode suscitar algumas extensões e conexões a outros assuntos matemáticos, como seja o dos números triangulares.

Repare na soma do número de lados de cada polígono, supra analisado, e o respectivo número de diagonais:

Polígono    

Nº de Lados (l)

Nº de Diagonais (d)

l + d

Triângulo

3

0

3

Quadrado

4

2

6

Pentágono

5

5

10

Hexágono

6

9

15

Heptágono

7

14

21

Octógono

8

20

28

Eneágono

9

 27

36

Decágono

10

 35

45

Undeágono

11

 44

55

Dodecágono

12

 54

66

Os números 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ..., por permitirem a obtenção de figuras triangulares, designam-se de números triangulares:

           3              

6

10

A fórmula que gera este tipo de números pode ser deduzida a partir da lei geral que gera o número de diagonais de um polígono regular em função do seu número de lados e é a seguinte tn =  n x (n + 1) : 2, sendo "t" um número triangular e "n" a ordem desse número triangular na respectiva sequência de números triangulares. Como primeiro número triangular há que se considerar o 1, pois t1 = 1 x 2 : 2 = 1.

Esta conexão matemática permite que se desafiem os alunos com várias tarefas interessantes, às quais dedicarei um próximo artigo.

Para já desafio-os a responder à seguinte tarefa: Qual o polígono regular cuja soma do número de lados com o número das suas diagonais origina o 15º número triangular?

publicado por Paulo Afonso às 14:09
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1 comentário:
De José Filipe a 12 de Outubro de 2008 às 16:28
Ora aqui está uma proposta de trabalho de excelência onde os números, as operações, a geometria, a álgebra aparecem de mãos dadas.

Tratando-se de uma situação que me é familiar, mesmo assim, não consegui resistir ao desafio. Confesso, no entanto, que a interpretação que passo a relatar não foi a inicial. É por isso que vale a pena investir sempre, mesmo em situações que parecem ser do nosso domínio.

Se analisarmos com atenção a tabela proposta que relaciona o nº de lados do polígono, as suas diagonais e o número triangular que lhe corresponde verifica-se, logo na primeira linha, que o triângulo (3 lados) corresponde ao 2º número triangular (3–1=2), uma vez que o primeiro nº triangular é o 1.

Então o polígono com 16 lados vai corresponder ao 15º número triangular (16–1=15).

Como qualquer raciocínio carece de confirmação, vejamos:
Um polígono com 16 lados tem 16x(16-3):2 diagonais, isto é, 16x13:2=208:2=104 diagonais.
A soma dos seus lados com as suas diagonais deverá corresponder ao 15º triangular: 16+104=120

Por outro lado, calculando o 15º número triangular ficamos a saber que, de acordo com o texto deste artigo, é metade do produto do número que representa a ordem do nº triangular com o seu sucessor. Recorrendo à linguagem matemática é mais fácil: n(n+1):2, particularizando, sendo n=15, temos: 15x16:2=240:2=120

Confirma-se, ao polígono de 16 lados regular se adicionarmos o nº das suas diagonais obtemos o 15º número triangular (120).

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