Quinta-feira, 23 de Outubro de 2008

A beleza matemática dos números triangulares

Num dos artigos anteriores tive a oportunidade de me pronunciar acerca de um determinado tipo de números que tinham a particularidade de originar figuras triangulares. Referia-me, na altura, aos números triangulares, cujos seis primeiros termos da sequência são os seguintes: 1, 3, 6, 10, 15, 21...

De entre várias conexões matemáticas que este tipo de números permite estabelecer*, como seja aos números quadrados ou ao triângulo de Pascal, irei associá-los ao conceito de média aritmética, ao conceito de número primo e ao conceito de potência de expoente natural.

* - Afonso, P. (2006). A Magia Conexões Matemáticas - Um caso envolvendo números triangulares. Educação e Matemática, 90, Novembro/Dezembro, 35-38.

Sendo assim, imagine que era desafiado a dividir aqueles seis primeiros elementos da sequência de números triangulares em dois grupos de igual valor numérico e em que cada um dos dois grupos era formado por metade desses elementos.

A figura seguinte permite auxiliar a visualização desta proposta, pois sugere-se que as parcelas de cada um dos grupos sejam colocadas nos triângulos azuis, e as respectivas somas ao centro de cada hexágono amarelo:

Como actividade de recreação matemática, esta situação poderia ser resolvida por tentativas:

Obviamente que em termos de sala de aula de matemática seria desejável que os alunos adicionassem esses seis termos da sequência, cujo valor é 56 e dividissem por dois para encontrarem o valor de cada metade, que é 28.

Ora, baseando-nos neste tipo de imagem, verifica-se que mantendo-se a média no valor 28, estes seis números triangulares permitem a constituição de outros pares de somas, em que cada uma delas continua a resultar da adição de três parcelas:

Note-se que as somas envolvidas nestas figuras são sempre pares.

Será que os restantes valores pares, agrupados segundo os seguintes pares ordenados [(22, 34); (20, 36); (18, 38); (16, 40); (14, 42); (12, 44); (10, 46); (8, 48); (6, 50)] permitem também casos de sucesso em figuras semelhantes às que acabo de mostrar? Será, certamente, uma investigação interessante a fazer-se...

O mesmo será dizer-se relativamente aos pares de números envolvendo somas ímpares, mas mantendo-se a mesma média de 28 valores. Use a figura seguinte para fazer este novo estudo:

Note-se a curiosidade de para o par de somas (19, 37) se conseguirem obter dois casos de sucesso:

É, pois, desafiador fazer-se o estudo para os restantes pares de somas ímpares e de média 28, usando-se apenas figuras semelhantes às anteriores, isto é, que envolvam três parcelas para cada soma.

Como tenho feito em outros artigos, este tema também permite múltiplas extensões.

Veja o exemplo de se sentir desafiado a dividir estes seis números triangulares em dois novos grupos, formado cada um por três elementos, de modo que uma soma seja o triplo da outra...

Uma vez mais, eis um possível caso de sucesso, envolvendo as somas 42 e 14:

Divida agora esses seis números, de modo a formar dois grupos cujas somas são dois números primos.

Se investigar este caso, provavelmente irá concluir que o número de termos envolvido em cada soma não será igual, o que obrigará a recorrer a outro tipo de figuras. Eis uma solução possível:

Conclui-se, pois, que este conjunto de números revela ter grandes possibilidades de exploração pedagógica.

Termino com o seguinte desafio: usar uma figura semelhante à anterior para se obterem duas somas em que uma é o quadrado da outra. 

publicado por Paulo Afonso às 00:40
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