Sábado, 19 de Novembro de 2011

Conexões matemáticas envolvendo o conceito de metade, o conceito de combinações, o conceito de decomposição de números através de adições e o conceito de número triangular

Num dos artigos deste blog (http://recreamat.blogs.sapo.pt/16342.html) refleti há tempos acerca de como se poderiam arrumar três ovos numa caixa de ovos com a capacidade para meia dúzia de ovos. Na altura pude associar este desafio ao conceito de números triangulares que, como sabemos, resultam da lei geral (n2 + n) : 2. Recordando alguns destes números, destaco os primeiros quatro por voltarem a estar envolvidos na reflexão que vou apresentar neste meu novo artigo. Aqui estão: 1, 3, 6 e 10.

 

Desta vez, o desafio é encontrar todas as de pintar metade de um painel retangular, formado por seis quadriculas geometricamente iguais, como ilustra a figura seguinte:

 

 

Esta tarefa pode permitir várias sugestões, como sejam as seguintes:

 

 
   
   

 

Como podemos observar nas figuras acima, poder-se-á (a) pintar um linha inteira, (b) pintar os extremos de uma linha e o quadrado central da outra linha, (c) pintar a coluna do meio e a quadrícula da esquerda da linha de cima, (d) pintar a coluna da direita e a quadrícula do meio da linha de baixo, (e) pintar a coluna da esquerda e a quadrícula da direita da linha de baixo ou (f) pintar na linha de cima a quadrícula da esquerda e pintar na linha de baixo a quadrícula do meio e a da direita. 

 

Claro está que em sala de aula esta tarefa poderia constituir-se como sendo uma tarefa de investigação, por forma a que os alunos, em trabalho de pequenos grupos, pudessem investigar todas as possibilidades de resposta.

 

Ora, uma aproximação por tentativa e erro poderia ser uma abordagem que levasse os alunos ao sucesso da tarefa, descobrindo as 20 possibilidades de realizar este desafio. Contudo seria interessante incutir nos alunos uma forma organizada de apresentar os resultados do seu trabalho. Por isso, vou sugerir uma possível apresentação dos mesmos, com base em algum critério, que explicarei a seguir.

 

Assim, um primeiro conjunto de figuras será o que levar em linha de conta a quadrícula do canto superior esquerdo e a quadrícula do meio, da linha de cima. Já a terceira quadrícula deste primeiro conjunto de imagens não será fixa, pois será uma das restantes. Teremos, pois, 4 figuras com base neste critério:

 

     

 

De seguida apresento mais três figuras em que as quadrículas fixas são a do canto superior esquerdo e a do canto superior direito:

 

   

 

Por sua vez, as duas próximas figuras mantêm fixas as quadrículas do canto superior esquerdo e do canto inferior direito:

 

 

 

Por último falta uma figura que mantém fixas a quadrícula do canto superior esquerdo e a quadrícula do meio da linha de baixo:

 

 

Ora, usando-se sempre a quadrícula do canto superior direito resultam, pois, 10 figuras diferentes.

 

Passemos, agora, a fazer um estudo semelhante para todas as figuras que mantêm fixa a quadrícula do meio da linha de cima. Se além desta se fixar a do canto superior direito, eis que resultam mais três novas figuras:

 

   

 

Fixemos, agora, além da quadrícula do meio da linha de cima, a quadrícula do canto inferior direito. Originar-se-ão duas novas imagens:

 

 

 

Por último, fixando-se ainda a quadrícula do meio da linha de cima e, agora, a quadrícula do meio da linha de baixo, eis que surge uma nova figura:

 

 

Em síntese, fixando-se sempre a quadrícula do meio da linha de cima originaram-se mais 6 figuras.

 

Passemos, agora, a fixar a quadrícula do canto superior direito. Eis que se também se fixar a do canto inferior direito surgem duas novas figuras:

 

 

 

Por último, fixando-se novamente a quadrícula do canto superior direito e, agora, a do meio da linha de baixo, eis que temos uma nova figura:

 

 

Em síntese, fixando-se a quadrícula do canto superior direito obtiveram-se mais 3 figuras.

 

Para finalizar esta apresentação de resultados, falta apenas fixar a coluna do canto inferior esquerdo. Eis a figura que resulta:

 

 

Em síntese, obtivemos mais 1 figura. Sendo assim, no total temos 10 + 6 + 3 + 1 = 20 figuras diferentes.

 

Note-se, pois, que cada parcela desta adição é um número triangular, como foi referido ao início desta reflexão.

 

Claro que dependendo do tipo de alunos, este valor 20 poderia ser obtido pelo cálculo das combinações de seis quadrículas, três a três:

 

 

Mas esta mesma tarefa poderia conectar-se a outros conteúdos matemáticos, como seja a decomposição de números através de adições. Para tal vamos investigar quantas somas diferentes conseguimos obter a partir de três parcelas diferentes, tendo por base a figura seguinte:

 

 

Obviamente que será fácil percebermos que a menor soma é 6, que resulta da seguinte adição: 1 + 2 + 3:

 

 

De seguida, surge a soma 7 através de uma nova adição 1 + 2 + 4:

 

 

para a soma 8, temos duas adições diferentes:

 

 1 + 2 + 5  1 + 3 + 4
 

 

Vejamos agora a soma 9. Podemos obtê-la através de três adições diferentes:

 

 1 + 2 + 6  1 + 3 + 5  2 + 3 + 4
   

 

A soma 10 também pode ser obtida através de três diferentes adições:

 

 1 + 3 + 6  1 + 4 + 5  2 + 3 + 5
   

 

O mesmo se passa com a soma 11:

 

 1 + 4 + 6  2 + 3 + 6  2 + 4 + 5
   

 

Para a soma 12 voltamos a ter só duas adições:

 

 1 + 5 + 6  3 + 4 + 5
 

 

O mesmo se passa para a soma 13:

 

 2 + 5 + 6  3 + 4 + 6
 

 

Para a soma 14 só existe uma adição possível: 3 + 5 + 6:

 

 

Por último, a soma 15 também só admite uma adição: 4 + 5 + 6:

 

 

Em síntese, tratou-se de outra forma o encontrar das 20 formas diferentes de obter metade da figura, neste caso conectada à operação adição, associando-a à decomposição de todas as somas possíveis de serem obtidas nas condições enunciadas nesta tarefa.

 

Note-se, também, que estas 20 formas diferentes de se obterem as dez somas possíveis obedecem a uma regularidade de natureza geométrica, que a figura seguinte permite evidenciar:

 

 

Fazer um estudo semelhante para todos os produtos que se poderão obter a partir da mesma figura, utilizando-se sempre três fatores diferentes:

 

publicado por Paulo Afonso às 10:45
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