Terça-feira, 1 de Junho de 2010

Geometria algebrizada - o caso das áreas de quadrados

Conectar vários conceitos matemáticos entre si tem sido uma forte aposta deste blog. Ora, neste centésimo artigo deste espaço da blogosfera pretendo voltar ao tema das conexões matemáticas por forma a elucidar, com um exemplo mais, a importância desta concepção acerca da Matemática.

 

O exemplo que escolhi tem a ver com o cálculo de áreas pelo método da decomposição passando, depois, pela sua exploração algébrica. Vejamos a figura seguinte e calculemos a área do quadrilátero de lado "a", tendo em conta que a unidade de área é a área ocupada pelo menor quadrado que faz parte da malha quadrada onde esse quadrilátero se encontra:

 

Ora, como se trata de um quadrado com 14 quadrículas de lado, tem de área 14 x 14 = 196 unidades de área. Isto é, como a = 14, então a área da figura é a2 = 142 = 196.

 

Analisemos, de seguida a figura de lado "b" e calculemos a sua área:

 

Um processo simples de realizar o cálculo é decompor a figura inicial, de lado "a" em 4 quadriláteros:

 

Note-se que a figura de lado "b" ocupa sempre metade de cada um dos quatro quadriláteros em que a figura de lado "a" foi decomposta. Logo, podemos concluir que a área da figura de lado "b" é metade da área da figura de lado "a", isto é, 98 unidades de área.

 

Em termos algébricos seria interessante que os alunos concluíssem que o lado do quadro menor - lado "b" - é a hipotenusa do triângulo rectângulo isósceles de lado "a/2". Logo, aplicando-se o Teorema de Pitágoras, conclui-se que b2 = (a/2)2 + (a/2)2 = a2/4 + a2/4 = 2a2/4 = a2/2. Em síntese, a igualdade b2 = a2/2 significa que a área do quadradado de lado "b" é metade da área do quadrado  de lado "a".

 

Qual será a área do quadrado de lado "c", comparativamente à área do quadrado de lado "a"?:

 

 

O Quadrado de lado "c" tem de lado 7 quadrículas unitárias. Logo, a sua área é 72 = 49 unidades de área. Note-se que esta área é metade da área do quadrado de lado "b" e quarta parte da área do quadrado de lado "a".

 

 

Em termos algébricos, e tal como a figura sugere, o comprimento do lado "c" é metade do comprimento do lado "a", isto  é: c = a/2. Logo, o cálculo da área do quadrado de lado "c" é a seguinte: a/2 x a/2 = a2/4. Daqui conclui-se que a área do quadrado de lado "c" é a quarta parte da área do quadrado de lado "a". Logo 196 : 4 = 49 unidades de área.

 

Analisando-se estes três casos, consta-se a existência de um padrão ou regularidade:

 

quadrado de lado "a" - sua área é a2

quadrado de lado "b" - sua área é a2/2

quadrado de lado "c" - sua área é a2/4

 

Tendo em conta esta regularidade, é admissível que surja a estimativa de que a próxima figura terá de área a/8, isto é, será um oitavo da área da figura do quadrado de lado "a" ou metade da área da quadrado de lado "c". Eis a figura respectiva:

 

 

Confirma-se, pois que a área do quadrado de lado "d" é metade da área do quadrado de lado "c", isto é, 24,5 unidades de área, como mostra a decomposição seguinte:

 

 

Note-se que conseguimos identificar 14 quadrículas inteiras, mais 10 por junção de quadrículas adjacentes, mais meia quadrícula que é a que resulta dos quatro triângulos assinalados a vermelho. Logo, a área da figura de lado "d" é 24,5 unidades de área.

 

Voltando à regularidade acima assinalada, podemos acrescentar esta nova linha:

 

quadrado de lado "a" - sua área é a2

quadrado de lado "b" - sua área é a2/2

quadrado de lado "c" - sua área é a2/4

quadrado de lado "d" - sua área é a2/8

 

Dando continuidade a esta regularidade, qual será a área do oitavo quadrado? 

publicado por Paulo Afonso às 00:16
link do artigo | comentar | ver comentários (3) | favorito
|
Terça-feira, 18 de Maio de 2010

Problemas que desenvo...

Desde a década de 90 do século passado que o tema da resolução de problemas tem sido considerado, de forma explícita, co...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 02:01
link do artigo | comentar | favorito
|
Segunda-feira, 12 de Abril de 2010

Conexões matemáticas ...

Conectar múltiplos conceitos entre si permite evidenciar a Matemática como sendo uma ciência harmoniosa, bela, muito bel...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:07
link do artigo | comentar | favorito
|
Terça-feira, 6 de Abril de 2010

Regularidades envolve...

O tema das regularidades e dos padrões, quer sejam numéricos ou geométricos, tem merecido alguma reflexão no seio deste ...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 23:39
link do artigo | comentar | favorito
|
Sábado, 27 de Março de 2010

A Matemática nos truq...

Uma das actividades que costuma ter mais impacto em contexto de matemática recreativa é a que recorre a um normal baralh...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 23:53
link do artigo | comentar | ver comentários (2) | favorito
|
Segunda-feira, 15 de Março de 2010

Padrões de repetição ...

Associar números a determinado tipo de figuras geométricas costuma ser habitual em contextos de recreação matemática. O ...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:03
link do artigo | comentar | favorito
|
Segunda-feira, 22 de Fevereiro de 2010

Análise numérica de p...

O tema dos padrões e das regularidades tem sido, por diversas vezes, objecto de análise neste blog. O mesmo propicia o d...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:03
link do artigo | comentar | ver comentários (2) | favorito
|
Segunda-feira, 8 de Fevereiro de 2010

Um caso prático de nú...

Para os meus leitores mais interessados em questões de balística, provavelmente já terão sido confrontados com o clássic...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:04
link do artigo | comentar | favorito
|
Domingo, 24 de Janeiro de 2010

Explorando o factoria...

Em Matemática existem alguns tipos de números que, quando colocados em sequência, crescem de uma forma muito rápida, poi...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 23:58
link do artigo | comentar | ver comentários (1) | favorito
|
Segunda-feira, 11 de Janeiro de 2010

Da magia matemática a...

Um dos primeiros artigos deste blog foi dedicado à mágica tarefa de se conduzir o nosso interlocutor a um determinado nú...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:01
link do artigo | comentar | ver comentários (1) | favorito
|
Segunda-feira, 16 de Novembro de 2009

Múltiplos conceitos m...

Muitas actividades de recreação matemática requerem para a sua resolução de um sentido apurado de observação, isto é, ex...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:05
link do artigo | comentar | favorito
|
Segunda-feira, 9 de Novembro de 2009

Relações aritméticas ...

Estava eu folheando um interessante livro intitulado "The Moscow Puzzles"*, de Boris Kordemsky, editado por Ma...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:24
link do artigo | comentar | favorito
|
Quinta-feira, 15 de Outubro de 2009

Pensamento algébrico

Actividades que consigam levar os resolvedores a investigar o elemento que dê continuidade a um padrão ou uma regularida...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 12:10
link do artigo | comentar | favorito
|
Terça-feira, 22 de Setembro de 2009

Áreas e perímetros de...

Os conceitos de área e de perímetro de uma figura geométrica costumam andar de mãos dadas quando estes conceitos são lev...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:04
link do artigo | comentar | ver comentários (3) | favorito
|
Segunda-feira, 15 de Junho de 2009

Actividade numérica c...

Escolher para actividade de recreação matemática tarefas que permitem uma exploração pouco orientada costuma seduzir os ...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:05
link do artigo | comentar | favorito
|

mais sobre mim

pesquisar

 

Traduzir Blog


Visitas ao segundo

artigos recentes

Dos pares ordenados ao pe...

À procura de regularidade...

Dar sentido aos números

Dízimas infinitas periódi...

Sequência numérica enigmá...

Números oblongos e invest...

Sequências numéricas cont...

Das regularidades numéric...

Pensamento algébrico - à ...

De volta ao número nove

Cubos mágicos

Pirâmides numéricas

Conexões matemáticas entr...

Pontes geométricas - cone...

Dependência numérica - um...

Geometria algebrizada - o...

Problemas que desenvolvem...

Conexões matemáticas e pe...

Regularidades envolvendo ...

A Matemática nos truques ...

Padrões de repetição e pa...

Análise numérica de padrõ...

Um caso prático de número...

Explorando o factorial do...

Da magia matemática ao de...

Múltiplos conceitos matem...

Relações aritméticas e pe...

Pensamento algébrico

Áreas e perímetros de fig...

Actividade numérica com e...

Quadrados mágicos e a ope...

Quadrados mágicos e progr...

Sequências numéricas em f...

Explorando os números de ...

Rãs de pele lisa, rãs de ...

Sequências numéricas lacu...

Conectar a álgebra a triâ...

Caminhos numéricos

Actividades de lógica mat...

Regularidades envolvendo ...

Cadelas que não se entend...

Regularidades geométricas...

Quadrados cercados por nú...

Optimizar a gestão do tem...

Regularidades envolvendo ...

Voltando ao número 120 - ...

Uma actividade de pesagen...

O dominó e a matemática

Regularidades envolvendo ...

Descobrindo médias aritmé...

Prazer matemático

Cortesía de AoPS

palavras-chave

todas as tags

links

Traduzir


Get Your Own Scroller

Contador

Web Counter

Janeiro 2013

Dom
Seg
Ter
Qua
Qui
Sex
Sab
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

Pessoas on-line

online

Publicidade

Este Blog é membro do União de Blogs de Matemática


"

MusicPlaylist