Domingo, 19 de Dezembro de 2010

De volta ao número nove

O número nove tem sido por diversas vezes alvo de múltiplas explorações matemáticas, por ocupar um papel muito especial no nosso sistema de numeração decimal. Quem não se lembra de, em tempos idos, utilizar a prova dos noves nos primeiros anos da escolarização básica? Era um método interessante de verificar se as "contas" aritméticas elementares estavam ou não erradas.

  

Sobre este fantástico ente matemático destaco uma excelente publicação* de Cecil Balmond, intitulada "O Número 9 - Em Busca do Código Sigma", publicado pela Editora Replicação.

  

Trazer pela segunda vez a este Blog de Matemática Recreativa o tema do número nove, significa que o mesmo pode continuar a suscitar tarefas lúdicas que merecem a nossa reflexão.

  

* - Balmond, C. (2000). O Número 9 - Em Busca do Código Sigma. LIsboa: Replicação.

  

Comecemos por encontrar a diferença entre o número 980 e  o mesmo número escrito ao contrário, isto é: 089. Eis a respectiva subtracção e tomemos atenção ao resultado da mesma:

  

  980

- 089

   891

 

Curiosamente o 9 aparece no resultado e os restantes dois dígitos desse resultado, quando adicionados, também originam a soma 9, pois 8 + 1 = 9.

 

Vejamos o que se passa se o valor inicial for o 981. Ora, a sua escrita ao contrário é 189. Façamos a respectiva subtracção:

 

  981

-189

  792

 

Note-se que o 9 voltou a aparecer no resultado e note-se, também, que a soma dos restantes dois dígitos desse resultado continua a ser 9, pois: 7 + 2 = 9.

 

Tendo em conta esta regularidade, quais serão os respectivos aditivos e os respectivos subtractivos para que se obtenham os seguintes restos, excessos ou diferenças:

 

a) 693

b) 594

c) 495

d) 396

e) 297

f) 198

 

Perante este desafio seria desejável que os resolvedores estimassem que o valor do aditivo deverá continuar a crescer uma unidade de cada vez, pois ao passar de 980 para 981, o resto, excesso ou diferença passou de 891 para 792, isto é o algarismo das centenas decresceu uma unidade, passando de 8 para 7, e o das unidades cresceu uma, passando de 1 para 2. Logo, é legítimo supor-se que se o aditivo crescer para 982, o resultado respectivo da subtracção terá o algarismo das centenas a continuar a decrescer uma unidade (7 para 6) e o das unidades a crescer uma (2 para 3), mantendo-se o 9 como valor central. Testemos esta conjectura:

 

 982

-289

 693

 

Confirmada que está a conjectura, basta dar continuidade a esta regularidade e eis as respectivas soluções:

 

  983

- 389

  594

  984

- 489

  495

  985

- 589

  396

  986

- 689

   297

   987

- 789

   198

         

Note-se, pois, que os resultados continuam a ter o 9 como valor central e os restantes dois dígitos continuam a originar a soma 9. Esta curiosidade matemática permite que desafiemos um qualquer nosso amigo ou familiar com uma tarefa deste género, pedindo que no final nos indique um dos números do resultado, que não seja o valor central, isto é, deverá ser indicado o das centenas ou o das unidades, explicitando esta ordem ou valor posicional, para que consigamos adivinhar, de forma mágica, os restantes dois valores desse resultado.

 

O que acontecerá se se fizer um estudo semelhante com os seguintes aditivos:

 

a) 9870

b) 9871

c) 9872

d) 9873

e) 9874

f) 9875

g) 9876

 

Analise os resultados das respectivas subtracções com os mesmos valores escritos aos contrário e tire conclusões. O que poderá concluir-se?

publicado por Paulo Afonso às 00:11
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