Segunda-feira, 20 de Abril de 2009

Conectar a álgebra a triângulos numéricos

Associar os números a figuras geométricas costuma ser uma opção interessante para se proporem actividades de recreação matemática. Um exemplo paradigmático é o das figuras mágicas (triângulos, quadrados, polígonos estrelados, etc), pois costumam cativar os resolvedores para a descoberta de um único valor (mágico), que se obtém pela adição de vários outros números, dependendo da posição que ocupam na respectiva figura geométrica.

O exemplo que eu escolhi para ilustrar esta ideia é ligeiramente diferente do que acabei de descrever. Trata-se de uma figura de aspecto triangular, cujos valores, exceptuando os da linha da base, resultam sempre da adição dos dois números que estão por baixo deles.

Tendo em conta que a figura seguinte só apresenta alguns dos valores, procure descobrir os restantes, de modo a que esta regra se mantenha:

 

A resolução da tarefa é a seguinte:

Repare-se que o início mais fácil para se resolver a tarefa é o que passa pela procura do valor que adicionado ao 30 origina o 67. Fica identificado o valor 37. De seguida, obtém-se o valor 75 por ser a soma de 37 com 38. Com estes valores já identificados, facilmente se descobre o valor do topo da figura, pois trata-se da soma de 67 com 75, isto é, 142.

Resta, agora, a identificação dos valores da linha da base e da 2ª linha. Sabe-se que ter-se-ão de identificar dois valores cuja soma é 30. Contudo, estes dois valores estão dependentes do valor a colocar entre o 5 e o 9, na linha da base.

Uma possível estratégia de resolução poderá passar pela elaboração de uma lista organizada. Assim, se associarmos ao valor 5 a letra A, ao valor 9 a letra C e ao valor a colocar entre eles a letra B, o que tem que se investigar é o valor de B de modo que (A + B) + (B + C) = 30.

Comecemos por aproximar o valor de A + B a 15, logo, B = 10. Como ficamos longe do 30, podemos passar ao estudo para o caso do B = 9. Uma vez mais, ainda não se obtém o valor 30, mas aproximamo-nos desse valor, o que indicia ser favorável associar, a seguir, o valor 8 ao B. Testando-o, confirma-se que é esse o valor que o B terá de assumir:

A B C A + B B + C (A + B) + (B + C)
5 10 9 15 19 15 + 19 = 34
5 9 9 14 18 14 + 18 = 32
5 8 9 13 17 13 + 17 = 30

Fica, pois, descoberto o valor 8 para ser colocado entre o 5 e o 9, na fila de baixo e os valores 13 e 17 a colocar por baixo do 30.

Por último, já fica fácil descobrir os três valores que restam. São eles o 20, o 18 e o 11.

Esta tarefa pode ter múltiplas extensões, como por exemplo a de se descobrir todos os valores que faltam numa figura parecida com a anterior, conhecidos apenas os quatro valores da base - quatro primeiros números naturais, colocados de forma consecutiva:

Eis como fica a figura:

Analisemos, agora, o que se passa quando substituimos os valores da base, respectivamente, por 2, 3, 4, 5 e 3, 4, 5, 6:

Note-se que quando se iniciou pelo valor 1 na base, o valor final, do topo, foi o 20; iniciando pelo 2, o valor final passou a ser o 28; iniciando no 3, o valor final foi o 36.

Seria interessante que os alunos pudessem identificar esta relação, procurando, inclusive, descobrir se existe um padrão ou uma regularidade entre o valor inicial e o final. De facto, ela existe e é a seguinte: f = 20 + (i - 1) x 8, sedo "f" o valor de topo e "i" o valor inicial, isto é, o menor dos quatro números da base, pois:

quando i = 1     =>   f = 20

quando i = 2     =>   f = 28        (20 + 1 x 8)

quando i = 3     =>   f = 36        (20 + 2 x 8)

...

 

quando i = n     =>   f = [20 + (n - 1) x 8]

Esta lei geral permite que nos questionemos acerca de qual será o valor de topo quando o menor valor da base é, por exemplo, o 17.

Aplicando a lei: f = 20 + (17 - 1) x 8 = 148.

Eis a confirmação:

Note-se, por outro lado, que a soma dos dois valores extremos da base (17 + 20 = 37) coincide com a quarta parte do valor do topo, pois, 148 = 4 x 37. Esta constatação também é válida para todos os casos anteriores (que envolveram 4 números consecutivos na base), pois:

20 = 4 x (1 + 4)

28 = 4 x (2 + 5)

36 = 4 x (3 + 6)

A figura seguinte explica a relação algébrica que está em causa:

De facto, 4 x (2a + 3) = 8a + 12 

Assim, qual será o valor de topo, se os dois valores extremos da base forem o 9 e o 12?

Facilmente se conclui que será o valor 84, pois (9 + 12) x 4 = 84.

Por outro lado, quais serão os dois números extremos da base de uma figura semelhante a estas se o valor de topo for 172?

Esta tarefa passa por se obter um valor que é a quarta parte de 172. Esse valor é o 43. De seguida tem que se encontrar o valor de "x" na seguinte igualdade: x + (x + 3) = 43. Desta igualdade resulta para o "x" o valor 20 e para o "x + 3" o valor 23.

Desafio os meus leitores a fazerem o estudo semelhante para o caso de na base estrem 5 números consecutivos. Será que se obterá uma nova regularidade? Será que o valor do topo é o quádruplo da soma dos dois valores extremos da base? Qual a lei geral para se obter o valor do topo a partir do valor inicial da base?

E se em vez de cinco, forem seis os valores inteiros consecutivos na base? Que conclusões podem ser encontradas?

publicado por Paulo Afonso às 00:02
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