Sexta-feira, 17 de Setembro de 2010

Dependência numérica - um caso de regularidades

No âmbito da recreação matemática faz todo o sentido confrontar as pessoas com situações problemáticas, quebra-cabeças, puzzles ou tarefas de investigação que impliquem uma avaliação permanente durante o próprio processo de resolução e não apenas ao fim, após a obtenção de uma eventual solução.

 

Ora no final do meu período de férias de Verão tive a oportunidade de visitar a sede da Associação de Professores de Matemática em Lisboa (APM) e deparei-me com uma caixinha cúbica colorida que me despertou, de imediato, a atenção. Associada à sugestiva caixa estava um título que também contribuiu decisivamente para a sua aquisição: "Génio da Matemática - descubra o prazer da Matemática" do autor Charles Phillips.

 

Num breve resumo acerca do conteúdo da caixa podia ler-se "A matemática é divertida - e os quebra-cabeças são óptimos para aprender os seus fundamentos [...]". Claro está que não hesitei em adquirir esta enigmática caixa. Ao sair da sede, a primeira coisa que fiz no carro foi abrir a caixa para saber qual era o seu conteúdo. Eis que encontrei um exemplar das Torres de Hanói e um mini-livro com cerca de 100 problemas, todos eles muito ricos em termos desta área do saber, que é a Matemática Recreativa.

  

De vários problemas que despertaram a minha curiosidade, escolho para reflexão o problema 35, existente na página 78 desse precioso livrinho. Vejamos a imagem seguinte:

 

 

O objectivo do problema é o de se colocarem nas células vazias os números inteiros de 4 a 9, inclusive, mas tendo em conta as seguintes condições:

1- Não pode haver números repetidos;

2 - Ter-se-ão que adicionar cada par de números adjacentes na vertical e na horizontal e não pode haver somas repetidas.

 

Ora, como o leitor terá a oportunidade de experimentar, trata-se de um desafio muito interessante, pois possibilita mais do que uma solução. Além disto incute no resolvedor a necessidade permanente de fazer verificações durante todo o processo de resolução, pois as duas condições prévias a isso obrigam.

 

Eis uma solução possível:

 

 

Verificando cada soma, temos os seguintes resultados:

 

Adições na Horizontal

Adições na Vertical

a) 1 + 2 = 3

b) 2 + 3 = 5

c) 5 + 6 = 11

d) 6 + 7 = 13

e) 4 + 8 = 12

f) 8 + 9 = 17

a) 1 + 5 = 6

b) 5 + 4 = 9

c) 2 + 6 = 8

d) 6 + 8 = 14

e) 3 + 7 = 10

f) 7 + 9 = 16

 

Constata-se, pois, que não há somas repetidas e, além disto, todos os números inteiros do 1 ao 9 constam na figura.

 

Como referi anteriormente, trata-se de uma situação que não pode ser resolvida sem que haja verificações permanentes durante o processo de resolução. De facto, a estratégia da tentativa e erro, só por si, não será uma estratégia muito válida, pois carece de várias tomadas de decisão por parte do resolvedor, uma vez que tem de ter em linha de conta as dezasseis somas em simultâneo.

 

Porque sou muito curioso e tenho por hábito extrapolar as situações de que gosto de resolver a outros contextos, pensei para mim próprio se o desafio fosse colocado tendo em conta exclusivamente os nove primeiros números ímpares (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17). Desafiei-me, então, com a seguinte figura:

 

 

 

Depois de algum tempo dedicado à resolução, com muitos avanços e recuos, lá descobri uma possível solução:

 

 

Realizando a confirmação final, eis as dezasseis somas obtidas:

 

Adições na Horizontal

Adições na Vertical

a) 1 + 3 = 5

b) 3 + 5 = 8

c) 9 + 11 = 20

d) 11 + 13 = 24

e) 7 + 15 = 22

f) 15 + 17 = 32

a) 1 + 9 = 10

b) 9 + 7 = 16

c) 3 + 11 = 14

d) 11 + 15 = 26

e) 5 + 13 = 18

f) 13 + 17 = 30

 

Continuando a apelar ao meu sentido indagador procurei investigar se haveria algum aspecto comum às duas resoluções e, de imediato, apercebi-me que a colocação dos valores nas células dependia de um padrão, que é o seguinte:

 

 

De facto, o menor dos valores estava sempre colocado na célula superior esquerda e o maior deles ocupava sempre a célula inferior direita. Além disto, a linha de cima continha sempre os três menores valores de cada sequência numérica, aumentando da esquerda para a direita. o mesmo se passava na segunda linha, com interrupção do 4º elemento cuja posição era sempre a da quadrícula inferior esquerda. Por fim, entre este valor e o mais elevado ficava sempre o 8º valor.

 

Como consequência imediata desta constatação, quis testar esta regularidade com os nove primeiros números pares (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18). Foi então que sem qualquer tipo de esforço mental me limitei a distribuir estes nove valores nas respectivas posições da nova figura. Eis o resultado:

 

 

Uma vez mais, confirma-se a regularidade ou padrão numérico identificado, pois as dezasseis somas foram todas diferentes:

 

Adições na Horizontal

Adições na Vertical

a) 2 + 4 = 6

b) 4 + 6 = 10

c) 10 + 12 = 22

d) 12 + 14 = 26

e) 8 + 16 = 24

f) 16 + 18 = 34

a) 2 + 10 = 12

b) 10 + 8 = 18

c) 4 + 12 = 16

d) 12 + 16 = 28

e) 6 + 14 = 20

f) 14 + 18 = 32

 

Por fim fui consultar a solução que o autor apresentava para o desafio colocado e constatei que era diferente do que eu tinha obtido:

 

 

Note-se que a disposição dos números já não obedece ao mesmo padrão anterior. Por isso desafio cada leitor a descobrir o novo padrão e a testá-lo também com os primeiros nove números ímpares e, depois, com os primeiros nove números pares.

publicado por Paulo Afonso às 01:02
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