Terça-feira, 18 de Novembro de 2008

Explorando operações aritméticas codificadas

Resolver operações aritméticas cujos valores foram substituídos por símbolos ou por letras é uma tarefa que frequentemente está associada à Matemática Recreativa.

Tendo em conta as palavras de David Wells (1999)*, "Loyd foi o primeiro a inventar «criptaritmos», enigmas em que deve ser completada uma adição onde alguns algarismos estão apagados, mas Dudeney foi o primeiro a substituir os algarismos desaparecidos por letras, formando uma mensagem com sentido - deu-lhe o nome de Aritmética Verbal [...]" (p. 108).

 

* - Wells, D. (1999). Antologia de Puzzles. Lisboa: Replicação.

 

Veja o seguinte exemplo "SEND + MORE = MONEY", aliás muito conhecido nesta área, e a respectiva resolução: 

                      SEND

                  + MORE


                   MONEY

                      9567

                  + 1085


                   10652

Possível explicação: Como a soma tem mais um dígito do que qualquer uma das parcelas, implica que o M seja necessariamente o 1. Já o S poderia ser o 8 ou o 9. Contudo, se se experimentar o valor 8 para o S, conclui-se que isso não é possível, pelo que se escolhe para esta letra o valor 9. Para que o O seja diferente do M, o valor de O não pode ser 1, mas, sim, zero. Descoberto que estiver o valor 5 para o E, os restantes valores serão fáceis de descobrir. 

Cada número seguinte é o resultado da adição dos valores envolvidos em linha ou em coluna. Descubra, agora, o valor de cada símbolo: 

J

#

O

$

10

J

J

J

#

5

O

O

J

J

8

O

O

O

$

13

$

$

$

$

16

$

$

#

#

12

16

17

14

17

 

O início da análise da tabela anterior pode ocorrer em vários sítios. Desde logo, a linha dos quatro óculos permite concluir, de imediato, que o valor de cada par de óculos é 4. Por outro lado, a segunda linha permite concluir que cada sorriso vale 1 e a tesoura vale 2. Ora, conhecendo-se os valores destes três símbolos, é fácil concluir que cada bandeira vale 3. 

Descubra, agora, o valor de cada um desses quatro símbolos se: 

 J  +  $ =  O#  $      J   $    # =  O

Note que a operação multiplicação é determinante nesta actividade, pois permite experimentar todos os casos de um factor a multiplicar por si próprio, não perfazendo uma dezena. Temos os seguintes casos: 2 x 2 = 4 e 3 x 3 = 9. Contudo, só adicionando 9 a 3 é que ultrapassa a dezena, que é o exigido na adição existente na primeira coluna da tabela. Sendo assim, os óculos valem 3, o sorriso vale 9, a bandeira vale 1 e a tesoura vale 2. Ora, a operação subtracção aí existente permite confirmar que 3 - 2 = 1. 

Altere, agora, a posição de cada número em cada uma das quatro operações seguintes para que as mesmas passem a estar correctas:

ADIÇÃO

SUBTRACÇÃO

MULTIPLICAÇÃO

DIVISÃO

                  58            

                +  8


                  50

          56

         -  2


         76

            46

          x  5


            10

    41 : 64 = 6    

Uma possível estratégia de resolução passa por se fazer o estudo exaustivo das posições dos números. Faço-o apenas para o caso da adição, mas as restantes operações podem ser objecto de estudos semelhantes:

88 + 5 = 93

88 + 0 = 88

85 + 8 = 93

85 + 5 = 90

85 + 0 = 85

58 + 8 = 66

58 + 5 = 63

58 + 0 = 58

55 + 8 = 63

55 + 0 = 55

50 + 8 = 58

50 + 5 = 55

A tabela anterior permite concluir que existem três casos possíveis de a adição poder ser resolvida correctamente. Contudo, não parece razoável que uma das parcelas seja o zero, pelo que a resposta correcta é 50 + 8 = 58.

Termino com mais uma situação de Aritmética Verbal envolvendo, desta vez, as palavras AMOR e ROMA, em que a primeira é operada por um factor I (inverso), originando a segunda:

A  M  O  R

      x       I


R  O  M  A

Encontre, pois, o valor numérico de cada letra e explique o raciocínio empregue!

publicado por Paulo Afonso às 00:11
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