Sábado, 1 de Setembro de 2012

Dos pares ordenados ao pensamento algébrico

No início de mais uma ano letivo renovo os votos de boas aprendizagens matemáticas, sobretudo alicerçadas em bons ambientes de investigação e desafio da inteligência humana.

 

Para iniciar mais um ano de publicações regulares, resultantes de algumas reflexões que continuarei a fazer em torno de conceitos matemáticos, apresento algumas conexões matemáticas a partir de alguns pares ordenados.

 

Vejamos o exemplo seguinte: {(0, 15); (2, 12); (4, 9); (6, 6); (8, 3); (10, 0)}. Que comentários poderemos fazer relativamente a este conjunto numérico?

 

- O 1º termo de cada par ordenado é um múltiplo de dois, resultante da fórmula "2n", sendo "n" um número inteiro, iniciado no 0 e terminando no 5.

 

- O 2º termo de cada par ordenado é um múltiplo de três, resultante da fórmula "3n", sendo "n" um número inteiro, iniciado no 5 e terminando no 0.

 

-  A soma de cada par ordenado obedece a uma regularidade: 15, 14, 13, 12, 11, 10.

 

- A diferença de cada par ordenado também obedece a uma regularidade: 15, 10, 5, 0, -5, -10.

 

- O produto de cada par ordenado também obedece a uma regularidade: 0, 24, 36, 36, 24, 0.

 

- A sua disposição num referencial cartesiano coloca-os segundo uma regularidade posicional:

 

 

- E essa regularidade pode ser definida por uma reta:

 

 

Qual será a função que descreve essa reta?

 

Seria interessante que em contexto de sala de aula de Matemática os alunos pudessem investigar e propor uma explicação matemática para justificar que estes cinco pares ordenados de números se relacionam entre si, como atesta a reta que os une. De entre várias tentativas seria desejável que alguém propusesse adicionar o triplo do 1º termo do par ordenado ao dobro do respetivo 2º termo.

 

Vejamos:

 

(0, 15) ----- 3 x 0 + 2 x 15 = 30

(2, 12) ----- 3 x 2 + 2 x 12 = 30

(4, 9) ----- 3 x 4 + 2 x 9 = 30

(6, 6) ----- 3 x 6 + 2 x 6 = 30

(8, 3) ----- 3 x 8 + 2 x 3 = 30

(10, 0) ----- 3 x 10 + 2 x 0 = 30

 

Logo, poder-se-ia concluir que os pares ordenados analisados obedecem à seguinte função matemática 3x + 2y = 30.

 

E se algum aluno sugerisse, por exemplo, adicionar o dobro do 1º termo de cada par ordenado com o triplo do respetivo 2º membro do par? Descobriria algo de matematicamente interessante?

 

Vejamos:

 

(0, 15) ----- 2 x 0 + 3 x 15 = 45

(2, 12) ----- 2 X 2 + 3 X 12 = 40

(4, 9) ----- 2 X 4 + 3 X 9 = 35

(6, 6) ---- 2 X 6 + 3 X 6 = 30

(8, 3) ----- 2 X 8 + 3 X 3 = 25

(10, 0) ----- 2 x 10 + 3 x 0 = 20

 

Curioso, de facto! Os resultados obtidos obedecem, também eles, a uma nova regularidade: 45, 40, 35, 30, 25, 20, decrescendo de 5 em 5, iniciando no 45 e terminando no 20.

 

Voltando à função 3x + 2y = 30, faça-se um estudo semelhante para as seguintes novas funções: 3x + 2y = 40 e 3x + 2y = 50. Quais são os pares ordenados que funcionam para cada caso? Há algum tipo de regularidade entre eles?

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