Quarta-feira, 20 de Abril de 2011

Somas cruzadas

Efectuar actividades de ludicidade matemática envolvendo números posicionados em formas geométricas, tem sido um hábito recorrente deste blog. Desta vez, a figura escolhida engloba dois triângulos com um vértice comum:

 

A tarefa consiste em posicionar os primeiros sete números naturais, todos e apenas uma vez, no lugar das letras, de modo que: (a + b + c = a + d + g = e + f + g = c + d + e.

 

Ora bem, as condições do enunciado da tarefa levam a concluir que a soma dos quatro números pertencentes a cada triângulo terá de ser a mesma, isto é: a + b + c + d = d + e + f +g. Por outro lado, a soma dos sete valores envolvidos na tarefa é 28, pois 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7. Logo, se se excluir o valor comum (d), a soma dos seis números restantes terá de ser um valor par, para que possibilite duas metades inteiras de igual valor numérico, pois a + b + c = e + f + g. Sendo assim, existem três possibilidades de isso ocorrer:

- atribuir à letra "d" o valor 2, resultando uma soma 26, subdividida em duas somas de valor 13;

- atribuir à letra "d" o valor 4, resultando uma soma 24, subdividida em duas somas de valor 12;

- atribuir à letra "d" o valor 6, resultando uma soma 22, subdividida em duas somas de valor 11.

 

Resta, agora, testar se para cada caso os seis números sobrantes se dividem exactamente nas duas somas de igual valor numérico:

- 1º caso: 13 = 7 + 5 + 1 e 13 = 6 + 4 + 3;

- 2º caso: 12 = 7 + 3 + 2 e 12 = 6 + 5 + 1;

- 3º caso: 11 = 7 + 3 + 2 e 11 = 5 + 4 + 2.

 

Testemos cada caso na respectiva figura:

 

1º caso:

 

 

Verifica-se, pois que 7 + 1 + 5 = 7 + 2 + 4 = 5 + 2 + 6 = 6 + 3 + 4 = 13.

 

 

2º caso:

 

 

Neste caso, confirma-se que: 7 + 2 + 3 = 7 + 4 + 1 = 3 + 4 + 5 = 5 + 6 + 1 =12.

 

 

3º caso:

 

 

Veja-se que neste caso: 4 + 5 + 2 = 4 + 6 + 1 = 2 + 6 + 3 = 3 + 7 + 1= 11.

 

A tarefa revelou, pois, uma natureza aberta, por permitir mais do que uma solução.

 

Imagine-se, agora, um estudo envolvendo os sete primeiros múltiplos naturais do 5 e, de seguida, os sete primeiros múltiplos naturais do 10. Como se posicionariam os números no caso de ser possível obedecer às premissas da tarefa inicial?

 

Eis uma possível solução, tirando partido, por exemplo, da ordem posicional dos elementos envolvidos no 1º caso da tarefa inicial deste artigo:

 

Múltiplos do 5:   Múltiplos do 10:
 

 

Note-se que a soma em qualquer linha da figura da esquerda é sempre 65 e nas da direita é sempre o seu dobro: 130.

 

Em contexto de sala de aula, seria desejável que os alunos conseguissem estabelecer uma relação entre o menor dos números envolvidos e a soma mágica a obter. Note-se que a iniciar em 5, e com os múltiplos naturais do 5, a soma foi 65; a iniciar em 10, e com os múltiplos naturais do 10, a soma foi 130, ou seja 65 + 1 x 65. Qual será a soma quando se inicia no valor 20, usando os sete primeiros múltiplos naturais deste valor?

 

Ora, seria desejável que os alunos inferissem a lei geral que permite obter uma qualquer soma (s) a partir dos sete primeiros múltiplos de números, que sejam múltiplos naturais do cinco. Assim, s = 65 + (n - 1) x 65, sendo "n" o número de ordem, múltiplo natural do 5. Logo, para n = 20 estaremos na presença do quarto múltiplo natural do 5 e a soma respectiva será a seguinte: s = 65 + (4 - 1) x 65 = 65 + 3 x 65 = 260. Confirmemos com a figura:

 

 

Analise em conjunto as três figuras seguintes, encontre uma lei geral que descreva matematicamente a soma obtida em função do respectivo menor valor envolvido em cada uma delas e projecte a possível soma de uma nova figura como estas, iniciada pelo valor 20:

 

publicado por Paulo Afonso às 21:48
link do artigo | comentar | ver comentários (1) | favorito
|
Quarta-feira, 1 de Dezembro de 2010

Cubos mágicos

Sendo o tema das figuras mágicas muito apropriado para o desenvolvimento de actividades de recreação matemática, desta v...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 20:00
link do artigo | comentar | ver comentários (1) | favorito
|
Quinta-feira, 14 de Outubro de 2010

Conexões matemáticas ...

As figuras mágicas já foram objecto de análise neste blog, por serem um objecto de recreação matemática propício ao esta...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 23:29
link do artigo | comentar | ver comentários (2) | favorito
|
Sexta-feira, 24 de Setembro de 2010

Hexágonos mágicos

As figuras mágicas já foram objecto de análise neste blog por variadíssimas ocasiões. Desta feita vou socorrer-me de uma...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:07
link do artigo | comentar | ver comentários (2) | favorito
|
Sexta-feira, 17 de Setembro de 2010

Dependência numérica ...

No âmbito da recreação matemática faz todo o sentido confrontar as pessoas com situações problemáticas, quebra-cabeças, ...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 01:02
link do artigo | comentar | ver comentários (1) | favorito
|
Segunda-feira, 10 de Maio de 2010

Triângulos mágicos de...

O tema das figuras mágicas tem vindo a merecer alguma reflexão no seio deste blog. Por sugestão de um dos meus leitores,...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 01:09
link do artigo | comentar | ver comentários (3) | favorito
|
Segunda-feira, 15 de Março de 2010

Padrões de repetição ...

Associar números a determinado tipo de figuras geométricas costuma ser habitual em contextos de recreação matemática. O ...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:03
link do artigo | comentar | favorito
|
Segunda-feira, 8 de Março de 2010

Investigações matemát...

O tema das investigações matemáticas tem servido de base ou contexto para a exploração de muitos assuntos neste blog. De...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:18
link do artigo | comentar | favorito
|
Segunda-feira, 15 de Fevereiro de 2010

Figuras mágicas e tar...

O tema das figuras mágicas já foi por diversas vezes objecto de reflexão neste blog. Contudo, como o mesmo suscita a pos...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:58
link do artigo | comentar | favorito
|
Segunda-feira, 16 de Fevereiro de 2009

Quadrados cercados po...

Os quadrados mágicos de ordem três (com três linhas e três colunas) ou de ordem quatro (com quatro linhas e quatro colun...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:01
link do artigo | comentar | ver comentários (2) | favorito
|
Domingo, 28 de Dezembro de 2008

O mundo mágico das co...

Perdoem-me os leitores a falta de modéstia por dedicar este artigo ao meu mais recente livro, acabado de publicar a 17 d...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 16:57
link do artigo | comentar | favorito
|
Sexta-feira, 5 de Setembro de 2008

Sequências mágicas

Em Matemática Recreativa as sequências numéricas suscitam actividades muito motivadoras quando associadas a determinadas...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 21:42
link do artigo | comentar | favorito
|
Domingo, 31 de Agosto de 2008

Somas olímpicas

Como referi no artigo anterior, as figuras geométricas, quando associadas a determinados números, permitem uma viagem fa...

Ler artigo
publicado por Paulo Afonso às 00:02
link do artigo | comentar | favorito
|

mais sobre mim

pesquisar

 

Traduzir Blog


Visitas ao segundo

artigos recentes

Somas cruzadas

Cubos mágicos

Conexões matemáticas entr...

Hexágonos mágicos

Dependência numérica - um...

Triângulos mágicos de 9 n...

Padrões de repetição e pa...

Investigações matemáticas...

Figuras mágicas e tarefas...

Quadrados cercados por nú...

O mundo mágico das conexõ...

Sequências mágicas

Somas olímpicas

Prazer matemático

Cortesía de AoPS

palavras-chave

todas as tags

links

Traduzir


Get Your Own Scroller

Contador

Web Counter

Janeiro 2013

Dom
Seg
Ter
Qua
Qui
Sex
Sab
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

Pessoas on-line

online

Publicidade

Este Blog é membro do União de Blogs de Matemática


"

MusicPlaylist