Sábado, 12 de Maio de 2012

Conexões matemáticas envolvendo os números de fibonacci

Dar conta de que a Matemática é uma ciência apaixonante tem sido uma das maiores motivações que me levam a alimentar este blog. Seria para mim muito gratificante que os leitores dos meus artigos pudessem considerar este blog como um espaço virtual capaz de suscitar a reflexão acerca de como podemos levar para o contexto de sala de aula o fascínio e a magia que a Matemática encerram. Desde logo o tema das conexões matemáticas tem ocupado um lugar de relevo, por entender que devemos evidenciar a vertente harmoniosa desta ciência, onde os conceitos parecem "conversar" entre si, transportando-nos para cenários de rara beleza.

 

Para este novo post voltei a escolher o tema dos números de fibonacci por entender que fazem parte de um conjunto enigmático e com bastantes conexões no seio da Matemática e ao nosso quotidiano. Refiro-me, pois, ao seguinte conjunto numérico: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Note-se que, à exceção dos dois primeiros termos, cada termo seguinte desta sequência resulta sempre da adição dos dois que imediatamente o antecedem.

 

Assim, como situação inicial vou socorrer-me de uma tarefa proposta numa Tese de Mestrado que tive a felicidade de arguir muito recentemente, da autoria da professora Helena Felgueiras*. Ora, na página 205, esta investigadora propõe o seguinte enunciado:

 

"A Isabel está a treinar o seu gato Tareco a subir uma escada. O Tareco só dá saltos de um ou dois degraus e nunca salta para trás, só para a frente. Como pode o tareco subir uma escada com cinco degraus? Será que encontras outra maneira de ele subir? Explica como pensaste para resolver a questão".

 

 

* - Felgueiras, H. (2011). A resolução de problemas através da descoberta de padrões: um estudo com alunos do 1º ano de escolaridade. Viana do Castelo: Escola Superior de Educação. Tese de Mestrado.

 

Tal como o título da tese sugere, esta situação problemática foi concebida para ser solucionada por alunos do 1º ano do 1º Ciclo do Ensino Básico português. O desejável era que os alunos pudessem descobrir as oito possibilidades de solução:

 

a) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

b) 1 + 1 + 1 + 2 = 5

c) 1 + 1 + 2 + 1 = 5

d) 1 + 2 + 1 + 1 = 5

e) 2 + 1 + 1 + 1 = 5

f) 1 + 2 + 2 = 5

g) 2 + 1 + 2 = 5

h) 2 + 2 + 1 = 5

 

Contudo, quando eu estava a tentar resolver a tarefa questionei-me acerca de quantas seriam as possibilidades de o gato subir a escada se a mesma só tivesse quatro degraus, ou três, ou dois, ou um degrau? Será que descobriria alguma regularidade? - pensei eu para mim mesmo.

 

Eis o resultado da minha investigação:

 

4 degraus - 5 casos possíveis 3 degraus - 3 casos possíveis 2 degraus - 2 casos possíveis 1 degrau - 1 caso possível

a) 1 + 1 + 1 + 1 = 4

b) 1 + 1 + 2 = 4

c) 1 + 2 + 1 = 4

d) 2 + 1 + 1 = 4

e) 2 + 2 = 4

a) 1 + 1 + 1 = 3

b) 1 + 2 = 3

c) 2 + 1 = 3

a) 1 + 1 = 2

b) 2 = 2

a) 1 = 1

 

Ora, analisando o número de casos possíveis que fui conseguindo obter, depressa constatei que estava perante alguns números de  fibonacci: 1, 2, 3, 5 e 8. Em bom rigor estimei logo que seriam 13 casos possíveis se a escada tivesse seis degraus. Fiquei profundamente feliz por ver confirmada a minha conjetura:

 

a) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6

b) 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6

c) 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 6

d) 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 6

e) 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 6

f) 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6

g) 1 + 1 + 2 + 2 = 6

h) 1 + 2 + 1 + 2 = 6

i) 1 + 2 + 2 + 1 = 6

j) 2 + 2 + 1 + 1 = 6

k) 2 + 1 + 2 + 1 = 6

l) 2 + 1 + 1 + 2 = 6

m) 2 + 2 + 2 = 6

 

Claro está que esta situação poderia ser levada à sala de aula de matemática (porventura a partir de um 2º ano de escolaridade) como sendo uma potencial tarefa de investigação e seria desejável que os alunos pudessem analisar em conjunto o número de casos resultante para cada situação, de modo a poderem continuar a fazer previsões. Uma previsão seguinte seria o associar o próximo termo da sequência numérica de fibonacci a uma escada com mais um degrau do que o que acabei de descrever. Estaríamos, pois, a falar de 21 casos possíveis (8 + 13) para uma escada formada por 7 degraus.

 

Após a confirmação desta previsão seria interessante desafiar os alunos a responderem rapidamente a questões do tipo:

 

a) quantos degraus terá uma escada para que permita 55 formas diferentes de se poder subir?;

b) uma escada com dez degraus quantas formas diferentes existem de a poder subir?

 

Mas esta sequência numérica encerra outras surpresas, nomeadamente uma forte conexão a outra sequência numérica: 1, 2, 6, 15, 40, 104, 273, ... Qual poderá ser essa ligação forte?

 

Ora, esta tarefa carece de uma investigação cuidada, porque a única coisa que sabemos é que esta sequência deve resultar de operações matemáticas a exercer sobre os números de fibonacci.

 

Dependendo do tipo de resolvedor que se sinta desafiado por esta tarefa, espera-se que possa experimentar usar não a adição de dois números de fibonacci consecutivos mas, sim, o seu produto. Vejamos:

 

a) 1 x 1 = 1

b) 1 x 2 = 2

c) 2 x 3 = 6

d) 3 x 5 = 15

e) 5 x 8 = 40

f) 8 x 13 = 104

g)13 x 21 = 273

...

 

Confirma-se, pois, que cada termo da sequência numérica proposta para estudo resulta do produto de dois números de fibonacci consecutivos.

 

Sendo assim, qual será o décimo termo dessa sequência?

 

Esta tarefa torna-se, agora, fácil de resolver porque só teremos de identificar os 10º e o 11º números de fibonacci, porque a sua soma será a resposta à tarefa.

 

Vejamos:

 

Números fibonacci consecutivos

1 x 1 1 x 2 2 x 3 3 x 5 5 x 8 8 x 13 13 x 21 21 x 34 34 x 55 55 x 89  
Produto 1 2 6 15 40 104 273 714 1870 4895  

 

Confirma-se, pois, que o produto do 10º número de fibonacci (55) com o 11º número de fibonacci (89) origina o 10º número (4895) da sequência em estudo.

 

Contudo, um outro resolvedor qualquer, num outro momento de resolução, pode propor adicionar os quadrados dos números de fibonacci de forma consecutiva, iniciando sempre no primeiro termo e acrescentando em cada adição o termo seguinte. Vejamos:

 

1 = 12

2 = 12 + 12

6 = 12 + 12 + 22

15 = 12 + 12 + 22 + 32

40 = 12 + 12 + 22 + 32 + 52

104 = 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82

 

Logo, será legítimo testar se o próximo termo (273) será ou não a soma de 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82 + 132?

 

De facto, 12 + 12 + 22 + 32 + 52 + 82 + 132 = 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 = 273.

 

Qual será a adição cuja soma é o valor 4895?

publicado por Paulo Afonso às 13:52
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