Sábado, 15 de Outubro de 2011

Sequências numéricas contendo dízimas infinitas periódicas

Em Matemática ouvimos muitas vezes falar em dízimas infinitas periódicas e a minha reflexão visa conectar este tipo de números ao tema das regularidades e padrões numéricos.

 

Vejamos, qual será o número a dar continuidade a esta sequência numérica:

 

5;     6,(6);     10;     16;     26,(6);     ______;

 

Aparentemente esta tarefa não é de fácil resolução ou de resolução imediata, pois não surge evidente a lei de crescimento desta sequência numérica. Contudo, a existência de duas dízimas infinitas periódicas neste conjunto de cinco números poderá servir de chave para a resolução deste desafio.

 

Assim sendo, a minha sugestão vai no sentido de se converter cada dízima na respetiva fração. Recordemos o procedimento matemático para que isso possa ocorrer. Como o período de ambas as dízimas ocorre logo ao nível das décimas, podemos seguir os seguintes cálculos:

 

x = 6,(6) <=> 10x = 66,(6)

 

10x - x = 66,(6) - 6,(6) <=>

<=> 9x = 60 <=>

<=> x = 60/9 <=>

<=> x = 20/3

 x = 26,(6) <=> 10x = 266,(6)

 

10x - x = 266,(6) - 26,(6) <=>

<=> 9x = 240 <=>

<=> x = 240/9 <=>

<=> x = 80/3

 

Será que a identificação das respetivas frações ajuda a interpretar a sequência numérica?:

 

5;     20/3;     10;     16;     80/3;     ______;

 

Em contexto de sala de aula é bem possível que um dos vários alunos possa avançar com a proposta de que a fração 80/3 é equivalente à fração 160/6. Se esta sugestão não ocorrer, pode ser indicada pelo professor, no sentido de que os resolvedores não desanimem e, consequentemente, desistam.

 

No fundo, o que se pretende é olhar para a sequência numérica neste novo formato:

   

5;     20/3;     10;     16;     160/6;     ______;

 

Ajuda?

 

Talvez, pois poderá haver alguém que sugira a conversão de todos os números inteiros para as respetivas frações. Eis uma aproximação interessante:

 

 

10/2;     20/3;     40/4;     80/5;     160/6;     ______;

 

Logicamente que quando esta conversão for feita, o desafio colocado ficará imediatamente resolvido, pois facilmente se percebe que estamos perante números fracionários cujos denominadores são os números naturais, iniciados no 2, e os respectivos numeradores são dobros sucessivos de cinco (10 = 2 x 5; 20 = 2 x 2 x 5; 40 = 2 x 2 x 2 x 5; 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5; 160 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5). Logo, poder-se-á concluir que os numeradores dessas frações resultam do produto das potências de base dois, de expoente natural, com o cinco (10 = 21 x 5; 20 = 22 x 5; 40 = 23 x 5; 80 = 24 x 5; 160 = 25 x 5).

 

Neste momento é fácil avançar com o número que dá continuidade à sequência numérica, pois o numerador será 26 x 5, isto é, o valor 320, e o denominador será o valor 7:

 

 

10/2;     20/3;     40/4;     80/5;     160/6;     320/7;

 

Note-se que este 6º termo da sequência volta a ser uma dízima infinita periódica cujo período é o seguinte: 714285. A dízima é, pois, a seguinte: 45,(714285).

 

Ora, os numeradores destas frações podem ser conectados a uma outra disposição numérica, baseada no conceito de Triângulo de Pascal, em que o valor inicial e os que iniciam e terminam cada linha deixam de ser uns para serem cincos:

 

 

Que tipo de conexão matemática é, pois, possível fazer-se entre os numeradores das frações da sequência numérica e esta figura?

 

Uma vez que referimos as potências de base dois, de expoente natural,  a multiplicar com o fator 5, termos de efetuar as somas dos valores existentes em cada linha horizontal da figura:

 

 

Fica, pois, confirmada esta possibilidade de conectar matematicamente a sequência numérica inicial com esta figura numérica.

 

Mas as conexões matemáticas não se ficam por aqui. Voltemos ao 6º termo da sequência numérica: 45,(714285). Centremo-nos no seu período: 714285 e dividamo-lo por 5. Obteremos o valor 142857.

 

Comparem-se os dígitos existentes neste quociente com os dígitos do dividendo. O que poderemos concluir?

 

Curioso, não é? Os dígitos são, de facto, os mesmos, apesar de estarem posicionados de forma diferente!

 

Multiplique, agora, este quociente obtido por 3, por 4 e por 6. O que pode concluir?

publicado por Paulo Afonso às 14:33
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