Segunda-feira, 12 de Janeiro de 2009

Regularidades envolvendo números quadrados

Como tenho vindo a referir em artigos anteriores, as regularidades, sequências ou padrões numéricos são um tema muito apreciado no âmbito da recreação matemática.

O exemplo que escolhi para reflexão, a propósito deste tema, é adaptado, e expandido, a partir de uma tarefa proposta por Carlo Fabretti, no livro intitulado "El libro del genio matemático", publicado pelas Ediciones Martínez Roca (Barcelona) em 1999.

Imagine-se solicitado(a) a interpretar o padrão numérico que a seguir apresento. Como prova da sua compreensão dê-lhe continuidade: 

11 - 2 = 9

1111 - 22 = 1089

111111 - 222 = 110889

11111111 - 2222 = 11108889

...

Num contexto de recreação matemática a resposta correcta  (111111111 - 22222 = 1111088889) para esta tarefa poderia surgir com maior ou menor fundamentação teórica.

Parece-me que uma aproximação interessante, e que não exigia grandes conhecimentos matemáticos, passaria pela análise da disposição dos três conjuntos de algarismos envolvidos em cada igualdade. Assim, (a) percebe-se que o aditivo é sempre formado por um número par de uns; (b) o subtractivo, formado exclusivamente por números dois, vai aumentando uma unidade em cada nova igualdade que surge; (c) o resto, excesso ou diferença, com a excepção do primeiro caso, apresenta sempre o valor zero como ponto médio entre o conjunto de uns e o conjunto de oitos, ambos com o mesmo número de elementos, seguidos sempre do número nove.

A tabela seguinte pode evidenciar as regularidades envolvidas: 

ADITIVO SUBTRACTIVO RESTO, EXCESSO OU DIFERENÇA
Nº de uns Nº de dois Nº de uns Nº de zeros Nº de oitos Nº de noves
2 11 1 2 0   0   0   1 9
4 1111 2 22 1 1 1 0 1 8 1 9
6 111111 3 222 2 11 1 0 2 88 1 9
8 11111111 4 2222 3 111 1 0 3 888 1 9
10 1111111111 5 22222 4 1111 1 0 4 8888 1 9

A última linha da tabela anterior evidencia, pois, a continuidade do padrão aí descrito: 1111111111 - 22222 = 1111088889.

Remetendo esta situação para o contexto de sala de aula, seria desejável que os alunos pudessem constatar que o número de dois de cada subtractivo é sempre metade do número de uns do respectivo aditivo, pelo que este valor tem sempre um número par de elementos.

Além disto, também seria interessante concluir que o resultado de cada subtracção representa sempre um número que é múltiplo de nove.

Contudo, porventura o mais interessante seria concluírem que cada um desses resultados se trata de um número quadrado, pois: 9 = 32, 1089 = 332, 110889 = 3332, 11108889 = 33332.

De facto, pegando-se no exemplo 111 - 22, podemos estabelecer o seguinte desenvolvimento numérico:

1111 - 22 =

= 1111 - 2 x 11 =

= 1111 - 11 - 11 =

= 1100 - 11 =

= 11 x (100 - 1) =

= 11 x 99 =

= 11 x 9 x 11 =

= 11 x 11 x 9 =

= 112 x 9 =

= 112 x 32 =

= (11 x 3)2 =

= 332 = (número quadrado)

= 1089

Percebida esta demonstração, facilmente se percebe o caso seguinte:

111111 - 222 =

= 111111 - 2 x 111 =

= 111111 - 111 - 111 =

= 111000 - 111 =

= 111 x (1000 - 1) =

= 111 x 999 =

= 111 x 9 x 111 =

= 1112 x 32 =

= (111 x 3)2 =

= 3332 (número quadrado)

= 110889

Como extensão deste desafio os alunos poderiam ser desafiados a comparar os resultados obtidos agora com estes novos que apresento a seguir:

18

2178

221778

22217778

...

Admitindo que descobriam facilmente que este novo padrão numérico representava o dobro de cada resultado da tarefa acabada de analisar, investigue quais seriam, para cada caso, os respectivos aditivos e subtractivos?

publicado por Paulo Afonso às 00:04
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Domingo, 6 de Julho de 2008

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Exemplo: Pensar num número formado por vários algarismos. Adicionar esses algarismos e a soma obtida deve ser subtraíd...

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